9. 3.10.1. Изотропное тело

Тензор  набор квадриад  должен быть таким, чтобы ни одно из направлений не было выделено или, наоборот, отделено. Иначе говоря, при построении тензора можно использовать только изотропный строительный материал.

Довольно просто убедиться, что нет ничего изотропного кроме единичного тензора (или шарового ). На первый взгляд, здесь выделены три направления , но мы знаем, что в другом декартовом базисе тензор имеет те же координаты ( ). Тензор  тоже изотропный  не обладает симметрией.

Из этого материала можно получить три тензора

причем первый из них  нужной симметрии, а два другие несимметричны. В этом легко убедиться, умножая на произвольный тензор

Поскольку тензор произволен, ответ не симметричен, что не отвечает требованию (3.30).

Зато симметричен тензор

который выделяет из тензора симметричную часть

Для симметричных тензоров  тензор тождественного преобразования.

Итого  всего-то 2 тензора!

Подставив в 3Г, получим

. (3.33)

На первую часть деформация влияет не так, как на девиатор! Две разные константы.

С уравнением (3.33) еще можно работать, но дальше будет труднее (для анизотропных сред). Поэтому попробуем чуть упростить. Вместо тензоров , выбрать другой тензорный базис

(3.34)

который, как можно показать (а мы в этом просто убедимся) удовлетворяет условию

.

Исходя из требования (3.34), быстро находим

И убеждаемся:

Закон Гука сейчас принимает более простой, на наш взгляд, вид:

Этот вид хорош тем, что легко обращается (попробуйте получить тензор ):

позволяет легко вычислять работу

и вообще удобен.

А что в ?

Нетрудно установить:

– проецирующий тензор,

,

– тоже проецирующий,

Из закона Гука следует, что в пространстве нет изотропных направлений ( – независимо от направления ).

10. 3.10.2. Ортотропный материал

Рассмотренная выше симметрия символически отображается сферой: вид ее не меняется при любом вращении.

Другой тип симметрия имеют монокристаллы с кубической решеткой; их симметрия соответствует симметрии куба. В пространстве есть избранный ортонормированный базис ; расположение номеров не играет роли .

При поисках всех четырехвалентных тензоров нужной симметрии остановимся на уже известных и и, кроме них. можно указать лишь один еще тензор нужной симметрии

(умножение в этом выражении тензорное!)

Скучную работу по отсеиванию других тензоров  либо несимметричных, либо не ортоизотропных, либо линейно зависимых  оставим для домашних разработок.

Заметив, что

(отсекаются все касательные напряжения на площадках ), легко сконструировать тензор :

Сразу поищем ортонормированный тензорный базис, на основе которого удобно строить тензор .

Для этой цели может пригодиться таблица умножения:

Зато

.

Удобнее может показаться проба на тензоре :

Нужный базис получается разложением на составляющие ортогональные ( при ij), отвечающие нужной симметрии.

В итоге (после длинной арифметики) получим

Здесь выделяет шаровой тензор (как и раньше),  девиатор без касательных напряжений на ,  остальное ( только касательные на ).

Таким образом, девиатор делится на два девиатора: “главный” (для него  главные площадки) и “сдвиговый” (на только сдвиги).

В пространстве первый тензор уже знаком , второй проецирует вектор на плоскость в пространстве , ортогональную , третий  выделяет оставшуюся часть вектора :

.

Вектор лежит в одномерном,  в двумерном,  в трехмерном подпространстве ; эти подпространства ортогональны.

Закон Гука

можно интерпретировать как независимую связь между соответствующими составляющими напряжения и деформации. Свойства упругости в подпространствах изотропны: связь не зависит от ориентации вектора в этом подпространстве.

Вопрос: как установить систему базовых испытаний образцов материала для нахождения коэффициентов упругости материала G, k, G? Вопрос не прост. Замером модуля Юнга здесь, как выясняется, не обойтись.

Вопрос: как выглядит тензор теплового расширения в ортоизотропном теле?

.