3.8. Тензор малых деформаций.

Теорию деформаций можно рассматривать как обобщение известного опре-деления =l/l₀ , в котором ll – l₀ , где l₀, l – длина некоторого материального волокна в начальном (недеформированном) и в текущем (деформированном) состояниях,  – линейная деформация этого волокна. Запишем это выражение по-другому:

l  l – l₀=  l₀. (3.27)

Если рассматривать l₀ как аргумент, а l – как функцию, то в выражении (3.27) можно увидеть линейную зависимость l(l₀) для произвольно выбираемых длин l₀. Оператором этой зависимости является деформация.

О бобщение состоит в том, что аргументом считается вектор l₀, характеризующий не только длину, но и направление волокна в малой окрестности рассматриваемой точки тела, а функцией является вектор разности

l  l – l₀=l(l₀) (3.28)

(l – вектор, характеризующий текущие длину и направление того же волокна). Этот вектор определяет не только изменение длины, но и поворот волокна, который в начальном состоянии характеризовался вектором l₀ (рис.3.4). На рисунке показаны две материальные точки – в недеформированном (A,B) и в деформированном (A,B) состояниях. Ниже показано “изменение” волокна (рис. 3.4). На рисунке величина l утрирована; в действительности деформация и поворот обычно весьма малы. Гипотетически их считают бесконечно малыми, тогда проекция l на направление l₀ (скалярное произведение l n, где n – единичный вектор вдоль l₀) определяет деформацию волокна, а проекция на вектор t, ортогональный n – угол поворота  :

l n = l₀, l t= l₀. (3.29)

Исходя из обычных соображений дифференцируемости полей смещений доказывают, что для бесконечно коротких волокон l₀ функция (3.27) линейна. Это означает, что если взять вдвое более длинное волокно, то и его изменение будет вдвое большим. Поэтому достаточно рассмотреть волокна определенной длины – например, единичной. В частности, изменение n единичного волокна n (рис.9.8) при проецировании на оси n и t сразу определяет те же, что и в (3.28) деформацию и поворот:

(n)n =, (n)t =. (3.28')

Е стественно, что для различно ориентированных волокон эти величины различны. Если в окрестности интересующей нас точки тела рассмотреть пучок единичных волокон с общим началом, то их концы лягут на окружность (мы пока ограничимся деформированием в одной плоскости) радиуса 1. Из линейности функции (3.27) следует, что в деформированном состоянии начало этих волокон перейдет, возможно, в новую точку, а концы образуют эллипс (рис.3.5). Полуоси эллипса показывают, какие волокна получили наибольшую и наименьшую деформации и каковы именно эти значе-ия (₁,₂). Эти направления и деформации называют главными.

Введем декартовы координаты x, y и будем отображать векторы матрица- ми-столбцами координат (например, n  n_x, n_y^T ). Тогда функция (3.27), как и всякая линейная вектор-функция вектора, отобразится матрицей

(3.27')

Матрицу D называют матрицей дисторсии. Полученное выражение, с одной и той же матрицей дисторсии, справедливо для любых (бесконечно коротких) векторов l₀ в окрестности рассматриваемой точки тела. В частности, для единичного волокна вдоль оси x (вектор i, координаты: 1, 0) получим

i=D .

И з рис.3.6 видно, что первая проекция вектора i, – D_xx – представляет деформа-цию волокна i, а вторая – поворот (в направлении оси y, то есть против часовой стрелки). Аналогично, второй столбец матрицы дисторсии представляет поворот единичного волокна j в направлении оси x (то есть по часовой стрелке) и деформацию этого волокна (рис. 3.6). Таким образом, зная изменение всего двух волокон, мы имеем всю матрицу дисторсии и возможность найти изменения любых волокон из выражения (3.27).