6. 3.6. Проблема факторизации

Вернемся к проблеме определения тензора по заданному аффинору А или заданной дисторсии . Задача разрешима, так как тензор имеет шесть степеней свободы, тензор – только три (ось и угол ), тензор А – девять. От тензора нетрудно избавиться благодаря его ортогональности:

, (3.19)

. (3.20)

Тензор симметричен, его главные значения всегда положительны и особых проблем с извлечением корня не возникает; трудность связана лишь с тем, что эта операция нелинейна (см. п. 2) и не может быть выражена аналитической формулой.

Если тензор деформаций мал (по сравнению с I), то возможен следующий итерационный путь с использованием аналитических выражений: перепишем выражение (3.19) в терминах D и :

,

откуда, после раскрытия скобок, получим

. (3.21)

Если в правую часть выражения (3.21) вместо  подставить выражение (3.21), то найдем более точное выражение для , в правой части которого появится – совсем небольшой тензор, но само выражение вырастет весьма серьезно. Поэтому лучше, возможно, использовать итерации: положив =0, вычислить  из (3.21) и затем, положив  равным найденному, снова вычислить правую часть выражения (3.20). Если новый результат покажется сильно отличающимся от старого, это действие можно повторить.

7. 3.7. Подходы Лагранжа и Эйлера. Другие тензоры деформаций

Не всегда удобно пользоваться функцией ; иногда принимают обратную ; очевидно, что оператор этой функции (назовем его В) обратен аффинору А и сам является аффинором

, . (3.22)

Использование в качестве независимого переменного характеристик текущего (деформированного) состояния отличает подход Эйлера; он особенно удобен при анализе течения жидкостей. Первый подход, более широко используемый в механике твердых тел, связывают с именем Лагранжа.

Как отмечалось, изометрическое деформирование, при котором все длины и углы неизменны, то есть деформирование отсутствует, характеризуется неизменностью скалярного произведения двух произвольных волокон:

,

или

(3.23)

Тензоры А и В в этом случае ортогональны, .

Если деформация происходит, то тензоры и не являются единичными, их отличие от единицы характеризует степень деформирования, поэтому вводят тензоры

первый называют тензором деформаций Грина-Лагранжа, второй – тензором деформаций Коши. Они обычно ассоциируются с выражениями для квадрата длины волокна:

Если деформации малы, то не очень информативно сравнение квадратов длин в начальном и конечном состоянии волокна; удобнее анализировать их разность. Поэтому вводят тензоры

(3.24)

– лагранжев тензор бесконечно малых деформаций (это термин: смысл его не обсуждается) и

(3.25)

– тензор деформаций Альманси-Эйлера. Эти тензоры используются в уравнениях

. (3.26)

Любой из введенных тензоров G, C, дает всю необходимую информацию о деформированном состоянии, хотя вычислить по ним линейные и угловые деформации не очень просто. Это неудобство частично компенсируется тем, что не возникает проблема факторизации: перемножение и аннулирует жесткий поворот.