3.2. Тензор дисторсии
При рассмотрении
геометрической стороны той же ситуации
(однородное деформированное состояние
некоторого тела) первая трудность
связана с необходимостью включить в
поле зрения, кроме текущего, начальное,
недеформированное состояние. Нам
придется ввести в рассмотрение понятие
материального волокна (это совокупность
материальных точек среды, лежащих на
некоторой линии). Нам достаточно будет
иметь дело с прямыми волокнами; их удобно
отображать векторами, характеризующими
длину и направления волокна. Если
начальное положение волокна отражается
вектором
,
то конечное будем обозначать
.
Однородность деформированного состояния означает, что если в начальном состоянии тело представить совокупностью одинаковых параллелепипедов (кирпичиков), то в деформированном состоянии все кирпичики деформированы одинаково, грани кирпичиков остаются плоскими. Следовательно, все материальные плоскости (совокупность материальных точек или волокон, лежащих в одной плоскости) в процессе деформирования остаются плоскими; равноотстоящие множества параллельных плоскостей остаются равноотстоящими множествами плоскостей.
Таким образом,
все бесконечное множество начальных
волокон, которым отвечает некоторый
один вектор
,
переходит в множество деформированных
волокон, которым отвечает один вектор
(рис. 3.1.). То же относится и ко всем
волокнам
,
переходящим в
.
Иначе говоря, существует функция
; (3.5)
она характеризует данное однородное деформированное состояние тела.
На рис. 3.1
показано одно из свойств этой функции.
Треугольник АВС переходит в новое
положение
;
его стороны
– в
;
нетрудно заметить, что
,
и, таким образом,
,
функция суммы
равна сумме функций. Нетрудно заметить
и другое свойство
:
.
Следовательно, функция при однородном деформированном состоянии линейна; она может быть описана с помощью тензора А, называемого просто аффинором
. (3.6)
Заметим, что
и при неоднородном деформированном
состоянии волокна
переходят в положения
,
но второе условие линейности функции
не
выполняется. Кроме того, разные волокна,
имеющие в начальном состоянии одинаковое
положение
,
в деформированном состоянии имеют
различные положения и функция (3.5) теряет
смысл.
В твердых телах деформации обычно довольно малы, волокна и сопоставимы и более информативна разница между этими волокнами
. (3.7)
Как следует
из выражения (6), изменение волокна
представляет также линейную функцию
его начального положения
(3.8)
(3.9)
Тензор D
зависимости
называют тензором дисторсии.
3.3. Изометрическое преобразование
Другая сложность
при изучении характеристик деформированного
состояния связана с тем, что деформации
могут отсутствовать при ненулевом
аффиноре (и ненулевой дисторсии): тело
может просто повернуться на некоторый
угол вокруг некоторой
оси
.
В п.2 мы рассматривали такое преобразование
;
аффинор при этом имел вид
Особенность жесткого поворота в том, что для любых двух волокон справедливо равенство
;
такое преобразование называют еще изотермическим (длины и углы остаются прежними!). Отсюда
,
т.е.
– это свойство ортогональных тензоров, обращающихся транспонированием (при обращении поворот на угол преобразуется в поворот вокруг той же оси на угол –. Проекция ортогональных тензоров на оси декартовой системы координат представляют орты другой декартовой системы координат, однако тензором жесткого поворота может быть лишь такой ортогональный тензор, определитель которого равен 1: правизна базиса при повороте не меняется.
При малом
повороте, когда
,
,
тензор
оказывается равным
,
тензор дисторсии
– кососимметричен.