1. 3.1. Тензор напряжений

Итак, дано тело произвольных размеров и формы; известно, что оно неподвижно но и нагружено внешними силами так, что во всех его элементарных объемах на одинаковых площадках действуют одинаковые силы. Такое напряженное состояние тела называют однородным. Для рассмотрения напряжений в нем можно выбрать любую его часть любой формы и размера. Исследуется статическая сторона явления: удобно считать тело твердым, хотя анализ справедлив для любой Среды. Ключом к рассмотрению является известный метод сечений.

Напомним, что напряжением называют интенсивность силы, передающейся через некоторую площадку (с единичной нормалью ) от одной части тела к другой, отделенной мысленно этой площадкой. Однородность означает, что вектор (интенсивность силы, распределенной по площади, измеряемая в Паскалях) зависит только от ориентации площадки . По третьему закону Ньютона на площадке с нормалью – (обычно рассматривается наружная нормаль) напряжение равно – . Через точку тела можно провести бесчисленное множество площадок; напряжения на них также представляют бесчисленное множество векторов, но эти множество, как увидим ниже, упорядочено.

Чтобы выделить полностью часть тела, минимально требуется провести четыре сечения, получив тем самым четырехгранник с наружными нормалями . Силы, действующие по этим граням, находятся умножением напряжений (постоянных на каждой грани) по площади граней . Из геометрических соображений следует, что эти площади связаны между собой и достаточно знать , чтобы, по нормалям найти все (в разделе 4 будет показано, что для любого многогранника сумма равна нулю).

Неподвижность тела при действии этих сил требует, чтобы суммарная сила была равна нулю

(i=1…4).

Таким образом, достаточно знать три напряжения на каких-либо трех площадках чтобы найти четвертое:

(3.1)

Как видим, вектор представляет линейную форму трех векторов , коэффициенты которой зависят только от векторов .

Варьируя положение четвертой площадки, найдем напряжения на всех площадках. Следовательно, напряженное состояние однозначно определяется векторами и (i=1…3).

Удобнее всего для этой цели использовать три ортогональные площадки, обозначим их нормали (они послужат ортами декартова базиса), четвертую – просто , ее площадь – S. Легко установить, что

(например, из упомянутого выше условия ), и выражение (3.1) примет вид

, i=1…3 (3.2)

Объект , представляющий, как мы знаем, двухвалентный тензор, обозначают  и называют тензором напряжений. Выражение (3.2) показывает смысл этого тензора: его проекция на нормаль к любой площадке определяет напряжение на этой площадке. В частности, это относится и к площадкам ( ). Таким образом, напряжение на площадке представляет линейную функцию с оператором . Столбцами матрицы  являются векторы и, таким образом, – касательное напряжение на второй, а не на первой площадке.

При получении тензора  мы использовали лишь одно условие равновесия (по силам); в действительности их два. Второе условие – по моментам – запишем для куба со стороной а. Пара сил на площадках и создают момент , аналогично найдутся еще два; сумма моментов должна быть равна нулю. Отсюда

,

то есть тензор  симметричен. В сопротивлении материалов это условие называют законом парности касательных напряжений (₁₂=₂₁, ₁₃=₃₁, ₂₃=₃₂).

Простейшее напряженное состояние – одноосное, когда тензор  сводится к диаде

, (3.3)

ранг его равен единице. Нетрудно видеть, что ранг матриц

, ,

равен единице, значит, все они представляют координаты тензора (3.3) в различных декартовых базисах. Векторы на любых площадках коллинеарны.

Плоскому напряженному состоянию отвечают тензоры второго ранга; они приводятся к виду

(3.4)

_i – главные напряжения (вместе с =0),

– главные направления тензора.

В механике жидкостей наиболее популярно шаровое напряженное состояние , величину , обычно положительную, обозначают p и называют давлением. Из простейших состояний можно еще упомянуть чистый сдвиг ( , , плоское напряженное состояние) и цилиндрическое ( ).