Визначення чисельним методом часу екстремального викиду
Для пошуку екстремумів функцій зазвичай застосовують метод дихотомії.
Алгоритм
методу дихотомії для визначення мінімуму
одномірної функції
на інтервалі
(максимум знаходять зміною знака функції
на зворотній, тобто за алгоритмом
досліджують функцію
)
Крок 1. Перевіряємо умову . Якщо умова виконується, йдемо до кроку 6. Якщо ні, - до кроку 2.
Крок 2. Поділяємо інтервал навпіл та обчислюємо два значення аргументу:
;
Крок
3. У визначених точках обчислюємо значення
функції
та
Крок
4. Перевіряємо умову
.
Якщо умова виконується
і
до кроку 2, якщо не виконується, - до кроку
5.
Крок
5. Позначають
і – до кроку 2.
Крок
6. Виводять
;
та
В даному випадку для пошуку часу екстремального викиду і його величини доцільно застосовувати ЕОМ з програмою MathCAD, яка знаходить екстремуми функцій за допомогою методу дихотомії.
Для пошуку екстремальних значень функцій (максимуми та мінімуми) в програмі MathCAD використовують відповідні оператори: Maximize та Minimize.
Нижче наведено фрагмент роботи програми MathCAD де виконується пошук екстремального значення функції, тобто знаходимо день (t) з найбільшою інтенсивністю викиду (P).
Мал. 6 – Пошук екстремального значення функції P(t)=-17+230t-29t2 за допомогою системи MathCAD.
Згідно з розрахунками робимо висновок що для моделі
P(t)=-17+230t-29t2 максимальна інтенсивність викиду пилу дорівнює 439 мг/c та випадає на четверту добу.
Прогнозування викиду підприємства на восьму добу методом експоненційного згладжування
При прогнозі методом експонентного згладжування враховується ступінь впливу кожної точки вихідногочасового ряду на прогнозовану. Очевидно, що в багатьох випадках останні точки передісторії мають значно більший вплив на прогноз чим перші. Останній факт і враховує метод експонентного згладжування. Сутність методу полягає в згладжуванні часового ряду за допомогою зваженої ковзної середньої, у якій вага спостережень підкоряються експоненціальному закону імовірності.
Рекурентна формула Р. Брауна для визначення экпоненційної середньої р-го порядку має вигляд:
(6)
де
- безрозмірний
параметр згладжування, що вибирається
в межах
,
при цьому
він дозволяє керувати впливом даних
часового ряду на прогнозовану точку
(при
=0
на прогноз будуть однаково впливати
всі точки часового ряду, а при
=1
- тільки остання);
;
-порядок
середніх (порядок полінома, що інтерполює,).
Характерно, що при
,
експоненціальні середні
являють собою вихідний часовий ряд
.
Відповідно до цієї моделі кількість розв'язуваних рівнянь залежить від р.
При р=1 маємо модель нульового порядку з одним рекуррентним рівнянням вигляду
(7)
Відповідно до цієї моделі одержимо тренд, початкова точка якого дорівнює середньому значенню передісторії, тобто
(8)
а прогнозне значення оцінюється величиною
(9)
Таким чином, останнє значення, обчислене за рекуррентною моделлю нульового порядку, чисельно дорівнює прогнозу на наступний дискретний момент часу.
Точність прогнозу оцінюють за фактичною контрольною точкою часового ряду, яка порівнюється з прогнозованою
% (10)
Для згладжування вихідного часового ряду P(t) методом експоненційного згладжування застосовуємо ЕОМ з використанням програми MS-Excel (файл ‘курсова.xls’). Результати розрахунків наведені у таблиці 4 та малюнку 7.
Вхідні данні:
Кількість спостережень t= |
7 |
Кількість періодів що прогнозуються tp= |
1 |
Коэффициент α= |
0,25 |
Коэффициент β= |
0,75 |
Точка початкового наближення S0 = |
322 |
Таблиця 4 – Розрахунок часового ряду P(t) методом експоненційного згладжування
Доба, t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Реальні значення Р(t) |
180 |
320 |
450 |
420 |
370 |
360 |
160 |
? |
Згладжування вихідного часового ряду P(t) методом експоненційного згладжування (1..7) |
287 |
295 |
334 |
356 |
360 |
360 |
310 |
310 |
За результатами розрахунків будуємо графік часового ряду P(t):
Малюнок 7 – Побудова графіку часового ряду P(t) методом експоненційного згладжування.
За ціми розрахунками можна зробити висновок що прогнозоване значення тимчасового ряду інтенсивності викиду СО на восьму добу дорівнює сьомій експоненційній середній, яка дорівнює 185 мг/с.
Знаходимо точність прогнозу:
=
Оскільки похибка при прогнозуванні в даному випадку перевищує ±10% прогноз є вірогідним.