Корреляционная функция

Задание одномерной плотности распределения вероятности не дает возможности определить характер изменения случайного процесса во времени и не характеризует взаимосвязь случайного процесса в различные моменты времени. Зависимость между случайными процессами требует введения многомерных распределений. По аналогии с одномерным случаем вводят понятие двумерной плотности распределения вероятности , описывающей связь двух значений X(t₁) и X (t₂) в произвольные моменты времени t₁ и t₂. С помощью двумерной плотности распределения вероятности можно определить корреляционную функцию, которая является вторым смешанным центральным моментом:

(53)

Для количественной характеристики зависимости случайных функций вводится нормированная корреляционная функция, которая называется коэффициентом корреляции:

. (54)

Если коэффициент корреляции равен 1, это означает линейную зависимость случайных величин. Если они независимы, он равен нулю.

В большинстве радиотехнических задач встречаются коэффициенты корреляции в виде монотонно убывающих или осциллирующих затухающих функций. Время затухания или время корреляции определяется как

. (55)

Основные свойства корреляционной функции и коэффициента корреляции:

1. Равенство нулю для статистически независимых значений случайного процесса. Это следует из того, что

. (56)

2. Симметричность относительно своих аргументов:

. (57)

3. Ограниченность коэффициента корреляции:

. (58)

Обозначим для простоты записи значения процесса через и . Если величины и независимы, , следовательно, .

Если и .

Если , .

Легко определить, условия, при которых коэффициент корреляции двух процессов равен 0. Очевидно, такое равенство возможно в случае

. Это означает равенство

. (59)

Это возможно при условии . Значит, в этом случае и - независимые величины, так как при этом вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей каждого из них. Итак, если и независимы, их коэффициент корреляции равен 0. Обратное утверждение неверно: равенство коэффициента корреляции нулю еще не означает независимости событий, поскольку зависимость может проявиться в моментах более высоких порядков. Равенство коэффициента корреляции нулю означает некоррелированность случайных величин и .

Равенство коэффициента корреляции единице означает линейную зависимость случайных величин:

. (60)

При нелинейной зависимости R отличается от единицы и в указанных пределах (-1,1) может принимать любые значения. Для коэффициента корреляции при

. (61)

При

. (62)

С увеличением временного сдвига коэффициент корреляции спадает от 1 до нуля.

Коэффициент корреляции со временем спадает до нуля при бесконечном увеличении временного сдвига . Время корреляции определяется по уровню и дает ориентировочное представление о том, на каком временном интервале в среднем имеет место коррелированность случайного процесса. При меньшем значении радиуса корреляции считают, что корреляция между случайными величинами пренебрежимо мала.

Значение коэффициента корреляции по уровню 0,5 определяет радиус (или интервал) корреляции в зависимости от разнесения (временного или пространственного).

В случае одной реализации количественной мерой статистической зависимости последующего значения статистической величины от ее предыдущего значения является коэффициент автокорреляции. Можно рассматривать величины и как два различных, но связанных между собой процесса. Коэффициент корреляции определяет значение , при котором процессы можно считать независимыми:

(63)

при условии, что процесс стационарный , а не является функцией времени.

Функция корреляции между значениями разных процессов называется

взаимной корреляционной функцией.