Плотность вероятности и функции распределения

Вероятность события Р, заключающаяся в том, что наблюдаемая случайная величина меньше или равна допустимому значению х, определяет функцию распределения вероятностей случайной величины Х:

. (21)

Иногда ее называют интегральной функцией распределения.

Введенная таким образом функция распределения F(x) является вещественной функцией, всегда положительной и неубывающей. Кроме того, для реальных процессов эта функция непрерывна и дифференцируема.

Хотя функция распределения F(x) и дает исчерпывающее описание вероятностной модели одной случайной величины, ее форма не всегда удобна для проведения необходимых расчетов. В ряде случаев предпочтительнее использовать не саму функции , а ее производную. Эта производная носит название плотности распределения вероятностей (плотности вероятностей или дифференциального распределения):

(22)

Ее физический смысл легче раскрыть через элемент вероятности . Его можно записать в виде:

. (23)

Из этого выражения следует, что элемент вероятности есть вероятность того, что случайная величина Х лежит в диапазоне возможных значений от х до х+ .

Мы уже упоминали, что вероятность того, что непрерывно распределенная случайная величина имеет точное значение, равна нулю.

По определению вероятности функция распределения нормируется условием:

. (24)

Поскольку функция - это плотность распределения вероятностей, а не сама вероятность, она не обязательно должна быть меньше единицы и может принимать любые неотрицательные значения.

Каковы характерные особенности интегральной функции распределения?

Пример: Пусть в комнате находится 100 человек разного возраста. Можно составить распределение по возрастам: от 0 до 3 лет, от 3 до 6, и так далее.

Ступенчатая картинка такого распределения носит название гистограммы. Огибающей гистограммы будет дифференциальная функция распределения. Интегральная функция распределения говорит о том, какая часть людей, находящихся в комнате, будет иметь возраст от 0 до 3 лет, от 3 до 6 лет и так далее. Эта функция будет возрастать, постепенно достигая насыщения.

Основные свойства плотности распределения вероятностей:

1.

2.

3.

4. . (25)

При анализе стохастических процессов наиболее употребительным является так называемое нормальное (гауссовское) распределение:

, (26)

где - дисперсия величины х.

Эта плотность вероятности содержит два параметра, - и , - среднее значение и дисперсию случайной величины (см. дальше).

Подчеркнем особенности нормального закона распределения.

1. Он служит основой для формулировки центральной предельной теоремы: если имеется сумма большого числа независимых случайных величин (измерений), то эта сумма будет распределена по нормальному закону, независимо от законов распределения каждой из этих величин в отдельности.

2. Нормально распределенный процесс характеризуется первыми двумя моментами. Все нечетные моменты для этого закона равны нулю. А четные моменты порядков m>2 полностью определяются через момент второго порядка.

3. Он удобен для вычислений и аппроксимации.

В то же время нормальный закон обладает и некоторыми недостатками:

1. Реальные процессы довольно часто бывают асимметричными, то есть преобладают ошибки, большие или меньшие среднего.

2. Реальные процессы не всегда допускают отклонения от до .

3.Реальные распределения часто имеют больше одного максимума.

4. В ряде случаев распределение по одному параметру отличается от распределения по другому, то есть нормальный закон не всегда универсален.

Количественные критерии нормальности распределения.

1. Критерий : Пусть имеется некоторый случайный процесс. Разобьем его на n интервалов. В каждом i-ом интервале возьмем по значений. Предполагаемую вероятность обозначим через .

Анализ показывает, что при функция распределена по нормальному закону. Тогда критерий представляет собой распределение суммы квадратов нормально распределенных случайных величин. Эта функция табулирована.

2. Критерий Колмогорова:

. (27)

Здесь - экспериментально полученное распределение; - предполагаемое распределение. Эта функция также протабулирована.

Для оценки поведения интегральных распределений интенсивности в пучках при их различных состояниях часто применяются следующие виды распределений:

1 – нормальное распределение:

; (28)

2 – экспоненциальное распределение:

; (29)

3 – нормально-логарифмическое распределение:

. (30)

В задачах распространения радиоволн в случайно-неоднородной среде под величиной Х понимают такие параметры излучения, как значения интенсивности (амплитуды), фазы, положение центра тяжести лазерного пучка и др. На основе метода плавных возмущений было установлено, что плотность вероятности флуктуаций интенсивности в режиме слабых флуктуаций с хорошим приближением описывается нормально-логарифмическим законом при

, (31)

где I – локальная интенсивность, - среднее по времени значение интенсивности. Дополнительные исследования показали, что нормально-логарифмическое распределение может удовлетворительно описывать экспериментальные данные не только при слабых флуктуациях, но и в условиях сильных флуктуаций.

При распространении излучения на атмосферных трассах близкими к нормальному распределению оказываются распределения флуктуаций фазы и распределения флуктуаций центра тяжести.

Для описания области сильных флуктуаций интенсивности приемлемым оказывается экспоненциальный закон распределения:

(32)

Соответствующий релеевскому распределению амплитуды экспоненциальный закон распределения плотности вероятности предполагает статистическую независимость компонент световой волны, рассеянной на турбулентных неоднородностях. Однако для атмосферной турбулентности, где реализуется широкий диапазон масштабов неоднородностей, компоненты рассеянных полей оказываются частично коррелированными за счет крупных неоднородностей. Это приводит к определенному отклонению экспериментальных данных от экспоненциального закона. Учет коррелированности рассеянных компонент поля представляет актуальную проблему для проводимых теоретических исследований. Среди предлагаемых распределений можно выделить так называемое К-распределение. Однако его анализ мы здесь опустим.

Наиболее часто встречающиеся плотности вероятностей

Дискретные распределения:

1. Биномиальное распределение (19)

2. Распределение Пуассона (20)

Непрерывные распределения:

1. Распределение Коши

Математическое ожидание и дисперсии не определены.

2. - распределение

3. Экспоненциальное распределение (29)

;

4. Гамма-распределение

;

5. Распределение Лапласа

;

6. Логарифмически нормальное распределение (30)

;

7. Распределение Максвелла

;

8. Распределение Гаусса (нормальное распределение) (26)

;

9. Распределение Релея (51)

;

10. Равномерное распределение

.

Средние значения и моменты случайных величин

В зависимости от того, принадлежат ли возможные значения времени t и реализации X(t) дискретному множеству чисел или отрезку (а может быть, и всей действительной оси), различают четыре типа случайных процессов:

1) случайный процесс общего типа: t и X (t) могут принимать любые значения на отрезке или, быть может, на всей действительной оси;

2) дискретный случайный процесс: t непрерывно, а величины X (t) дискретны;

3) случайная последовательность общего типа: t дискретно, а X(t) может принимать любые значения на отрезке (или на всей) действительной оси;

4) дискретная случайная последовательность: t и X(t) оба дискретны.

В любом случае, случайном или детерминированном, среднее значение есть сумма чисел, деленная на число величин, подлежащих усреднению. В случайной ситуации выборочное среднее величины X определяется как

. (33)

Здесь черта над Х означает усреднение, а - выборочные значения, полученные при повторных испытаниях рассматриваемого случайного опыта.

Можно также рассматривать понятие среднего, которое появляется при бесконечном числе испытаний. Такое гипотетическое среднее называется математическим ожиданием случайной величины.

Рассмотрим дискретный случай. Случайная величина Х имеет n возможных значений . Соответствующие вероятности будут . Если проведено m испытаний, где m – достаточно большое, то следует ожидать, что в испытаниях появится значение , в - значение и т.д. Таким образом, выборочное среднее будет

, (34)

то есть среднее значение функции времени определяется ее интегрированием

на некотором интервале времени, а затем делением полученной величины

на продолжительность этого интервала.

Для определения среднего значения непрерывной случайной величины усреднение по времени заменяют интегрированием по диапазону возможных значений, которые она может принимать, то есть вводится усреднение по ансамблю:

. (35)

Здесь и далее угловые скобки означают операцию статистического усреднения, то есть усреднения по ансамблю.

Отсюда вытекает следующее определение для математического ожидания дискретной случайной величины Х:

, (36)

где n – число возможных значений случайной величины Х.

Для непрерывной случайной величины

. (37)

Таким образом, оператор вычисления математического ожидания для дискретной случайной величины представляет взвешенное суммирование, а для непрерывной случайной величины – интегрирование с весом.

Качественно математическое ожидание представляет наиболее вероятное значение, а значения с каждой стороны от среднего становятся все менее и менее вероятными по мере того, как отклонение от среднего становится больше.

Свойства математического ожидания:

1. Поскольку эти операторы линейны, математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий отдельных слагаемых.

2. Математическое ожидание константы рано ей самой.

3. Константу можно выносить за знак математического ожидания.

Средние по времени значения важны при рассмотрении случайных функций времени, но говорить о среднем одиночного значения случайной величины не имеет смысла, поскольку оно определяется как мгновенное значение.

Величины средних по ансамблю реализаций для любых степеней случайного процесса называются начальными моментами n-го порядка:

. (38)

Центральные моменты n-го порядка определяются как

(39)

и представляют собой моменты для центрированного процесса

. (40)

Самыми важными являются следующие моменты.