1. Начальный момент 1-го порядка, равный среднему значению.

Также эта величина называется математическим ожиданием.

Начальный момент 2-го порядка, равный среднему квадрату случайной

величины:

(41)

Первый центральный момент всегда равен нулю

. (42)

Второй центральный момент называется дисперсией

. (43)

Дисперсия характеризует интенсивность флуктуаций случайного процесса. Корень квадратный из дисперсии σ(t) называется стандартным или среднеквадратическим отклонением.

Существует еще одно определение дисперсии:

. (44)

В качественном смысле дисперсия X представляет меру разброса X относительно среднего. Если среднее равно нулю, дисперсия тождественно равна второму начальному моменту. Можно показать, что

. (45)

Так что дисперсия представляет разность между средним квадратом случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Из свойств дисперсии отметим два:

1. Дисперсия неслучайной константы С равна нулю.

2. Неслучайную константу С выносят за знак дисперсии при возведении в квадрат.

Третий центральный момент может служить критерием оценки для асимметрии закона распределения относительно оси, параллельной оси ординат и проходящей через среднее значение случайной величины. Часто пользуются понятием коэффициента асимметрии

. (46)

Если для анализируемой кривой коэффициент асимметрии равен нулю, то по одному признаку эта кривая совпадает с нормальной. Однако равенство нулю коэффициента асимметрии еще не является достаточным условием нормальности распределения.

Если кривая плотности вероятности имеет более пологий спад справа от среднего значения, говорят о положительной асимметрии . Если спад боле пологий слева от среднего значения, - коэффициент асимметрии отрицателен, , то есть плотность вероятности обладает отрицательной асимметрией.

Четвертый центральный момент. Иногда используют численную характеристику «сглаженности» кривой распределения около моды (максимального значения) – коэффициент эксцесса:

. (47)

Этот коэффициент дает возможность сравнивать «характер вершины» данной кривой распределения с аналогичной особенностью нормального (гауссовского) распределения.

Для нормального распределения случайного процесса =3. Отличие эксцесса от этой величины свидетельствует, что распределение не является нормальным. При > 0 кривая плотности вероятности в окрестности максимума имеет более высокую и более острую вершину, чем нормальная плотность вероятности. < 0 указывает на более низкий и более плоский характер вершины по сравнению с нормальной кривой. В первом случае говорят о положительном, а во втором – об отрицательном эксцессе.

К примеру, распределение молекул по скоростям описывается распределением Максвелла:

. (48)

Здесь m – масса молекулы; k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура. В этом случае коэффициент асимметрии равен 21.

Коэффициенты γ и часто используются, чтобы характеризовать степень отличия данного распределения от нормального.

Из часто используемых видов функции распределения можно отметить применяемое в анализе распространения электромагнитных волн в хаотической неоднородной среде распределение Накагами или m–распределение. Если представить отдельную составляющую электромагнитного сигнала как , где R и - случайные амплитуда и фаза (изменение их по нормальному закону не требуется), то распределение огибающей этого сигнала, представляющей сумму большого числа компонент, описывается m-распределением:

. (49)

Здесь

. (50)

При этом .

При получаем нормальное распределение как частный случай распределения Накагами.

При имеет место обычное распределение Релея:

, (51)

поскольку .

В случае m>1 получаем обобщенное релеевское распределение:

, (52)

где - функция Бесселя мнимого аргумента.

При , где n – целое и положительное, приходим к -распределению.