Вводные положения

Вспомним кратко исходные положения теории вероятностей, необходимых для использования указанных применений.

Если число возможных событий обозначить через n, а число благоприятных исходов – через m, вероятность событий определяется отношением:

(1)

Пример: Для иллюстрации этого определения обычно рассматривают пример с подбрасыванием монеты. Вероятность выпадения герба при одном подбрасывании равна ½. Какова вероятность выпадения герба при двух подбрасываниях?

На самом деле при двух подбрасываниях герб может:

а - выпасть в первом случае, но не выпадет во втором;

b - во втором случае, но не в первом;

c - и в первом, и во втором случаях;

d - не выпадет ни в первом, ни во втором случаях.

При этом из общего числа четырех возможных вариантов три являются благоприятными. Таким образом, вероятность выпадения герба будет равна ¾.

Вероятность, равная единице, характеризует достоверное событие. Однако равенство вероятности нулю не означает, что событие невозможно.

Скажем, для исследований нужен образец длины Нельзя утверждать, что при изготовлении этот размер будет соблюдаться точно, - возможны отклонения от на величину . Оценим вероятность того, что длина образца окажется равной . Ясно, что число благоприятных случаев равно 1, тогда как число возможных случаев равно числу точек на выбранном интервале , то есть равно . Следовательно, искомая вероятность равна нулю. Однако равенство длины образца величине все же возможно.

Крайне важно отметить при этом, что случайность события вовсе не означает его беспричинности. Случайные события подчинены своим статистическим законам. И именно изучение этих законов позволяет оптимизировать их применение на практике.

Пусть есть цепь событий А; В; С… Если одновременно произошли события А и В, такое одновременное их осуществление называют произведением событий:

АВ = С. (2)

Запись

А+В=С (3)

означает осуществление одного из событий А или В.

Если имеем две области событий, А и В, графически осуществимость этих событий будет характеризоваться областью пересечения областей А и В.

События могут быть зависимыми и независимыми, совместными и несовместными. Несовместность событий – частный случай зависимости.

Пусть события А и В независимы. Тогда вероятность одновременного осуществления событий

. (4)

Пусть имеется система n событий. Выделим из них m событий. Число благоприятных случаев обозначим через l. Вероятность события l, очевидно,

будет равна

. (5)

При этом - вероятность события m . - вероятность события m при условии, что событие m произошло.

Обобщая, запишем:

. (6)

Здесь – условная вероятность события В (при условии, что событие А осуществилось).

Эта формула является исходной и может быть обобщена на случай совместного осуществления n событий. В качестве примера обычно рассматривают пример с покупкой k из m выпущенных билетов, из которых число выигрышных n. Требуется оценить вероятность выигрыша хотя бы по

одному из них. Анализ показывает, что вероятность выигрыша будет равна

. (7)

Для расчета факториалов при больших n можно использовать формулу Стирлинга:

. (8)

Таким образом, если имеется система событий и от них зависит вероятность события , совершающегося при осуществлении одного из событий , то для каждого имеем:

. (9)

Следовательно, полная вероятность события может быть найдена как сумма

. (10)

Рассмотрим вопрос о вероятности суммы двух событий. Сумма двух событий – это осуществление любого из них. Если события несовместимы, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей каждого из них:

. (11)

В качестве примера обычно рассматривают бросание кубика. Вероятность выпадения единицы, двойки и т.д. равна 1/6. События эти несовместимы. Следовательно, вероятность выпадения единицы или двойки равна

Но события могут быть и совместимыми.

Очевидно, что вероятность события А складывается из вероятности совместного осуществления событий А и В и вероятности совместного осуществления событий А и не В (обозначим через ):

. (12)

Записывая аналогично вероятность события В, получим выражение вероятности для их суммы:

(13)

Из нее можно получить выражение для суммы несовместных событий (12), поскольку в этом случае Из этого выражения следует также, что в общем случае вероятность суммы двух событий меньше или равна сумме вероятностей каждого из них.