Статистика Тсаллиса

Концепция небольцмановской сатистики была предложена в 1988 году Тсалисом для решения широкого круга задач неравновесной термодинамики жидкости и газа, описания фазовых переходов первого и второго рода, физики плазмы, астрофизических задач. Ключевым параметром статистики Тсаллиса стал априори неопределенный параметр q. Статистику Тсаллиса иногда пытаются трактовать как q-зависящее обобщение статистики Больцмана.

Введем q-зависящую энергию по Тсаллису следующим образом:

. (8)

При выражение (8) сводится к (6).

Допустимые статистикой Тсаллиса профили энергетических распределений вычислим , вводя дополнительные условия на сохранение нормировки q –параметрических вероятностей и q –параметрической внутренней энергии системы. Введем (сопровождающее (эскортное) распределение :

.(9)

Здесь - обобщенная q –параметрическая статистическая сумма.

Условия нормировки параметрического распределения и определение параметрической внутренней энергии запишем в виде:

(10)

,(11)

где - энергетические уровни системы.

Выполним поиск наиболее вероятного распределения при условиях (10) и (11) на основе модифицированного принципа максимальной энтропии Джейнса, определяя максимум функционала:

(12)

и - параметры Лагранжа.

В результате получим обобщенное параметрическое распределение

(13)

Обобщенная q –параметрическая статистическая сумма в выражениях (9) и (13) рассчитывается на основе нормировки q –параметрического распределения вероятностей:

(14)

Здесь

(15)

Функция распределения вероятностей Тсаллиса (13) переходит в распределение Больцмана при

(16)

где

(17)

Отметим, что для наблюдается степенной закон зависимости от энергии состояния. Строго говоря, диапазон значений параметра q специально не оговаривается, соответственно допустимы любые действительные значения. Собственные значения энергии рассматриваемой системы – положительно определенные величины. Следовательно, при возникают ограничения на допустимые диапазоны энергии состояний , не допускающие отрицательных величин вероятности значения состояний.

Параметрическая энтропия Тсаллиса не подчиняется принципу суперпозиции, как это принято в классической статистической механике Больцмана. При объединении двух систем А и В в единую систему –параметрическая энтропия преобразуется согласно (8) следующим образом: