Непрерывное вейвлет-преобразование

Как мы говорили, с помощью непрерывных масштабных преобразований и переносов вейвлета с произвольными значениями базисных параметров (масштабного коэффициента а и сдвигового коэффициента b) конструируют базис функционального пространства – систему базисных вейвлетов:

.

На основе этой системы записываются интегральное (непрерывное) вейвлет-преобразование функции - прямое и обратное:

.(4)

Здесь - нормирующий коэффициент:

В этих обозначениях выражение в круглых скобках в (4) означает скалярное произведение соответствующих сомножителей, - фурье-преобразование вейвлета . Для ортонормированных вейвлетов =1.

Вейвлет-спектр в отличие от Фурье-спектра является функцией двух аргументов: первый - временной масштаб а - аналогичен периоду осцилляций, то есть обратен частоте, а второй b аналогичен смещению сигнала во времени.

Нужно иметь в виду, что коэффициенты содержат комбинированную информацию как об использованном вейвлете, так и об анализируемом сигнале, поскольку представляют скалярное произведение анализирующего вейвлета на заданном масштабе и анализируемого сигнала.

На рисунке в качестве примера приведены результаты применения вейвлет-преобразования для анализа зарегистрированных в эксперименте флуктуаций интенсивности лазерного излучения на наклонной трассе длиной 320 м в приземном слое и флуктуаций температуры в точке приема.

Рис.Временные изменения локальной интенсивности лазерного излучения на наклонной трассе (верхняя кривая слева) и временные флуктуации температуры в пункте приема в двух точках, разнесенных на расстояние 1 см (верхняя кривая справа). Внизу – соответствующие картины вейвлет-коэффициентов (a – масштабный коэффициент, b – параметр сдвига)

Применение описанного метода позволяет, в частности, увидеть cкрытую периодичность флуктуаций исследуемого сигнала, которую не представляется возможным проследить с помощью общепринятых методов исследования. Наблюдаемые на рисунке коэффициентов ветвления отдельных участков могут свидетельствовать о фрактальных особенностях в структуре электромагнитного излучения, а, следовательно, и среды распространения сигнала, - канала.

А.Н.Яковлев. Введение в вейвлет-преобразования. Изд НГТУ Новосибирск, 2003

Суперстатистика в анализе стохастических трасс

Мы установили, что статистические свойства открытого оптического канала передачи данных принципиальны в решении задач прогнозирования искажений диаграммы направленности сигнальных пучков, частотных параметров искажений интенсивности в заданной апертуре, технических решениях для служебных каналов. Использование статистического аппарата квазистационарных состояний для протяженных трасс, а также для среднемагистральных, развернутых в условиях городской застройки, не обеспечивает должной степени надежности прогноза на требуемом временном интервале из-за существенно разных временных масштабов развивающихся на трассе турбулентных процессов.

В последние годы для описания сложных систем интенсивно развивается концепция суперстатистики. Ее основная идея состоит в том, что сложная система описывается как суперпозиция нескольких подсистем, каждая из которых эволюционирует в собственном временном масштабе. Суперстатистический подход требует наличия достаточного «разделения» временной шкалы таким образом, что система имеет возможность «релаксации» в локальном состоянии равновесия и пребывания в нем в течение некоторого промежутка времени. Если такое необходимое разделение временной шкалы имеет место, суперстатистические модели обеспечивают эффективное описание наблюдаемых процессов.

Статистики Больцмана и Тсаллиса

Статистические модели нестационарной неравновесной среды создаются на основе динамических закономерностей энерго- и массопереноса. Для такого рода систем малопригодны априорные положения о равнораспределении энергии между различными степенями свободы или о равной вероятности заполнения доступных состояний.

Рассмотрим последовательно набор утверждений классической статистики Больцмана и обоснуем переход к статистике Тсаллиса.

Статистика Больцмана

Пусть у нас имеется идеальный газ Состояние каждой из N частиц описывается в шестимерном фазовом пространстве ( - пространстве) через вектор координаты и вектор скорости . Разобьем фазовое пространство на W бесконечно малых полностью заполняющих его и непересекающихся ячеек, число которых существенно меньше числа частиц . Любая ячейка может содержать в заданный момент времени частиц, обладающих запасом кинетической энергии . Объем ячейки .

Согласно аксиоматике Больцмана, в предположении равной вероятности для каждой из частиц газа занять любое из доступных остояний в фазовом пространстве, термодинамическая вероятность реализации некоторого заданного распределения частиц по ячейкам может быть определена следующим образом:

. (1)

Пусть в рассматриваемой системе сохраняются полное число частиц и их суммарная энергия:

(2)

И

.(3)

Здесь H - гамильтониан системы.

Определим максимально вероятное распределение заселенности ячеек как функцию энергии ячеек при условиях (2) и (3), исходя из определенного Джейнсом в 1957 году принципа максимума энтропии при равновесном распределении населенности ( или вероятности) по уровням. Энергетическое распределение должно удовлетворять требованию максимальности функционала:

.(4)

Здесь - параметры Лагранжа.

Условию (4) удовлетворяет функция

,(5)

Представляющая собой распределение Максвелла-Больцмана или равновесное распределение частиц по ячейкам. Статистическая сумма обеспечивает нормировку распределения, постоянная в частном случае идеального газа с помощью уравнения состояния газа может быnь связана с термодинамической температурой .

На основе равновесного энергетического распределения (4) могут быть выведены первое и второе начала термодинамики, определена равновесная энтропия физической системы в виде:

.(6)

Выражение для равновесной энтропии Больцмана можно записать иначе, - определив число микросостояний системы , соответствующих полному запасу энергии системы E:

. (7)

Фактически определяет вероятность обнаружить систему в состоянии с полной энергией E, не оговаривая равновесность конкретного состояния системы.