Понятие о вейвлет-преобразованиях

Важной частью обработки сложных сигналов стало использование вейвлет анализа. Оно позволяет получить дополнительные по сравнению с обычным статистическим анализом характеристики сигналов и расширить подходы к оценке параметров скейлинга.

Вейвлеты представляют собой особые функции в виде коротких волн (всплесков) с нулевым интегральным значением и с локализацией по оси независимой переменной (t или x), способных к сдвигу по этой оси и масштабированию (растяжению или сжатию). Любой из наиболее часто используемых типов вейвлетов порождает полную ортогональную систему функций. В случае вейвлет-анализа (декомпозиции) процесса (сигнала) в связи с изменением масштаба вейвлеты способны выявить различие в характеристиках процесса на различных шкалах, а посредством сдвига можно проанализировать свойства процесса в различных точках на всем исследуемом интервале. Именно полнота такой системы позволяет осуществить восстановление (реконструкцию или синтез) процесса посредством обратного вейвлет- преобразования.

Вейвлеты широко применяются для исследования нестационарных сигналов, неоднородных полей и изображений различной природы и временных рядов, для распознавания образов и в решении многих радиотехнических и радиофизических задач, связи, электронике, акустике метеорологии и т.д.

Итак, вейвлет-преобразование одномерного сигнала состоит в его разложении по базису, сконструированному из обладающей определенными свойтвами солитоноподобной функции, - вейвлета, - с помощью масштабных перемещений и переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует и определенную частоту (пространственную или временную), и ее локализацию в физическом пространстве (времени).

Преобразование Фурье

К понятиям вейвлет-анализа обычно подходят путем аналогий с преобразованиями Фурье.

Пусть существует пространство квадратично интегрируемых функций с конечной энергией:

, .

Он может быть представлен ортогональной системой функций , то есть

(1)

Здесь коэффициенты определяются из соотношения

,(2)

в котором - квадрат нормы или энергия базисной функции . При этом считается, что никакая из базисных функций не равна тождественно нулю и на интервале ортогональности выполняется условие:

.

Базисная функция , для которой квадрат нормы равен единице, , называется нормированной (или нормальной), а вся система функций - ортонормированной или ортонормальной. В этом случае говорят, что задан ортонормированный базис. Ряд (1), в котором коэффициенты определяются в соответствии с (2) , называется обобщенным рядом Фурье. Произведения вида , входящие в (2), представляют собой спектральную составляющую сигнала , а совокупность коэффициентов называется спектром сигнала ( рис.) Суть спектрального анализа сигнала состоит в определении коэффициентов (экспериментально или теоретически) в соответствии с выражением (2). На основе ряда (2) возможен синтез сигналов при фиксированном числе членов ряда. При этом важным свойством обобщенного ряда Фурье будет то, что при заданной системе базисных функций и числе слагаемых N он обеспечивает минимум среднеквадратической ошибки. Выбор рациональной системы ортогональных функций определяется поставленной задачей.

Вейвлет-преобразование одномерного сигнала – это представление его в виде обобщенного ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций

,

сконструированных из материнского (исходного) вейвлета , обладающего определенными свойствами за счет операций сдвига во времени (b) и изменения временного масштаба (a). Множитель обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего числа a.

Таким образом, для заданных а и b функция и есть вейвлет, порождаемый материнским вейвлетом . То есть с помощью масштабных дискретных преобразований и сдвигов мы можем описать все частоты и покрыть всю ось, имея единственный базисный вейвлет .

(а) (b)

Рис.2 Вейвлет «Мексиканская шляпа» (а) и модуль его спектральной плотности (b)

Малые значения а соответствуют мелкому масштабу или высоким частотам ( ), большие параметры - крупному масштабу , то есть растяжению материнского вейвлета и сжатию его спектра.

Таким образом, в частотной области спектры вейвлетов похожи на всплески (волночки) с пиком на частоте и полосой Δω, т.е. имеют вид полосового фильтра; при этом и Δω уменьшаются с ростом параметра a .

Следовательно, вейвлеты локализованы как во временной, так и частотной областях. Вообще вейвлеты занимают промежуточное положение между синусоидами и дельта-образными импульсными функциями.

Следует отметить, что спектральное представление (образ) вейвлетов аналогично заданию окна в оконном преобразовании Фурье. Но отличие состоит в том, что свойства окна (его ширина и перемещение по частоте) присущи самим вейвлетам. Это служит предпосылкой их адаптации к сигналам, представляемым совокупностью вейвлетов. Поэтому нетрудно понять, что с помощью вейвлетов можно осуществить анализ и синтез локальной особенности любого сигнала .

Отметим главные признаки вейвлета:

1. Ограниченность: квадрат нормы функции должен быть конечным:

.

2. Локализация: Вейвлет-преобразование, в отличие от преобразования Фурье, использует локализованную исходную функцию и по времени, и по частоте.

Отметим, что дельта-функция и гармоническая функция не удовлетворяют необходимому условию одновременной локализации во временной и частотной областях.

3. Нулевое среднее:

.

Из этого условия становится понятным выбор названия «вейвлет» – маленькая волна.

Равенство нулю площади функции , т.е. нулевого момента, приводит к тому, что фурье-преобразование этой функции равно нулю при ω = 0 и имеет вид полосового фильтра. При различных значениях a это будет набор полосовых фильтров.

4. Характерным признаком вейвлет-преобразования является его автомодельность или самоподобие. Все вейвлеты конкретного семейства имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлет ψ(t) , поскольку получены из него посредством масштабных преобразований ( a ) и сдвига ( b ).

Существует ряд часто принимаемых вейвлетов. Примером простейшего ортогонального вейвлета служит HAAR-вейвлет:

Недостатком этого вейвлета являются его несимметричность и негладкость.

Каждый вейвлет имеет определенные особенности во временном и частотном пространстве. Но, поскольку некоторые важные свойства вейвлет-преобразования не зависят от выбора вейвлета, такой анализ позволяет получить и объективную информацию об анализируемом сигнале.