Справка по вариационной производной:

Функционал записывается в виде:

Это прямой аналог дифференциала функции конечномерного аргумента ( ).

Производная Фреше, – аналог одномерного градиента, - называется вариационной производной:

Здесь - градиент функции y;

выражение в круглых скобках – скалярное произведение;

- оператор частной производной по –ой координате.

Сумма представляет собой полный дифференциал.

Если представить

,

можно записать

.

- вариационная производная Ф по , то есть .

Далее воспользуемся соотношением, выражающим корреляцию между нормально распределенной случайной величиной и произвольным функционалом от нее в такой форме:

, (174)

где через обозначена вариационная производная.

Принимая эти соотношения, мы тем самым приписываем случайной величине гауссово распределение.

Возьмем теперь в качестве функционала поле . Усредним уравнение (171) и подставим вместо выражение, полученное при помощи соотношения (174). Используя дельта-коррелированность флуктуаций показателя преломления, после вычислений найдем:

. (175)

Это уравнение разрешимо относительно первого момента случайного поля :

, (176)

где - поле в плоскости х=0, а подынтегральное выражение в экспоненте представляет величину, входящую в правую часть выражения (173):

. (177)

Принимая, что - величина, определенная в предположении колмогоровского спектра неоднородностей,

(178)

находим интеграл от в следующей форме:

(179)

Для случая плоской волны, то есть при , из выражений (176) и (178) получаем:

(180)

Подобная процедура может быть применена и для вычисления других моментов поля. Так, для вывода уравнения, которому удовлетворяет второй момент поля, нужно уравнение (171) умножить на , а в качестве функционала взять произведение , что позволяет найти величину .

Запишем второй момент флуктуаций поля . Уравнение, которому удовлетворит , тогда примет вид:

(181)

Решая это уравнение методом преобразования Фурье, находим:

. (182)

Здесь

. (183)

Полученная для формула описывает пространственную когерентность пучка. Если в ней положить , то перейдем к формуле для интенсивности как функции поперечных координат.

Чтобы рассчитать флуктуации интенсивности, а также ряд других эффектов, возникающих при распространении пучка, требуется получить уравнение для четвертого момента случайного поля:

(184)

С помощью аналитической процедуры находим соответствующее уравнение:

(185)

Для этого уравнения был найден ряд приближенных решен ий, относящихся как к флуктуациям интенсивности, так и к блужданиям пучка, усредняющему действию апертуры и другим эффектам.

Отметим, что описание сильных флуктуаций проводят на основе подхода, предполагающего вывод и решение уравнений для статистических моментов комплексной амплитуды поля (функций когерентности). Наибольший интерес представляют функции когерентности второго

(186)

и четвертого порядков:

. (187)

Через них выражается средняя интенсивность, степень когерентности, дисперсия флуктуаций интенсивности и коэффициент пространственной корреляции. Здесь комплексная амплитуда А характеризует электромагнитные колебания

, (188)

а - составляющая вектора r, лежащая в поперечной плоскости волны, распространяющейся вдоль оси z.

Использование малоуглового приближения, предполагающего рассеяние волны под малыми углами, позволяет заменить оператор на оператор Лапласа, действующий по поперечным координатам. Таким образом получаем исходное уравнение для нахождения функций когерентности. При этом неоднородности показателя преломления в направлении распространения представлены дисками, ориентированными перпендикулярно направлению распространения. Математически это предположение может быть представлено в виде:

. (189)

Здесь - функция корреляции флуктуаций показателя преломления, - функция корреляции флуктуаций показателя преломления в поперечной плоскости, - дельта-функция.

Физически такое представление основывается на том, что, в отличие от корреляции показателя преломления в поперечном направлении его продольная корреляция оказывает лишь малое влияние на флуктуационные характеристики поля. Как результат, корреляция амплитудных флуктуаций в продольном направлении оказывается в большинстве практических случаев существенно больше размеров неоднородностей.

Путем преобразований получаем

. (190)

Здесь

, (191)

и – соответственно волновое число и энергетический спектр неоднородностей.

Таким образом, функция когерентности экспоненциально убывает с увеличением расстояния z. Показатель экспоненты определяется структурной функцией комплексной фазы.

В условиях сильных флуктуаций дисперсия определяется согласно соотношению

, (192)

где степень возмущенности трассы оценивается как

, (193)

- структурная характеристика флуктуаций показателя преломления атмосферы.

Радиус корреляции флуктуаций по пятну в условиях сильных флуктуаций составляет

, (194)

то есть меньше радиуса первой зоны Френеля.

Лекция 25 октября 2016г.

Фрактальные методы анализа случайно-неоднородных сред

В настоящее время довольно часто находят применение методы анализа поведения излучения в случайно-неоднородных средах, основанные на фрактальных и мультифрактальных представлениях о структуре сигнала и среды, в которой они распространяются.

Необходимость использования понятия фрактала обусловлена тем, что далеко не все задачи, относящиеся к характеристике свойств неупорядоченных сред, могут решаться методами традиционной статистической физики. Полный успех при использовании этих методов достигается только в предположении либо абсолютной хаотичности сред и происходящих в ней процессов, либо в предположении их полной упорядоченности. За пределами возможностей последовательной статистической теории часто оказывается описание неупорядоченных сред и процессов, в которых отсутствуют как полная упорядоченность, так и полный хаос. Примером таких сред может служить атмосфера Земли.

Учитывая, что трассы в открытой тропосфере – это трассы, для которых характерно стохастическое поведение, можно утверждать, что поведение сигнала на таких трассах непредсказуемо, и применение детерминистических закономерностей становится невозможным, да и неоправданным. Их изучение требует применения методов статистического анализа. Особенность применения фрактальных методов в том, что они дают как локальные характеристик, так и (в результате усреднения по большим интервалам) глобальные характеристики изучаемого процесса.

С математической точки зрения фрактал – это множество с дробной размерностью. Топологическая размерность для точки равна нулю, для линии – единице, для поверхности – двум и так далее. Как представить множество с размерностью 3/2? По-видимому, для этого нужно что-то промежуточное между длиной и площадью. И, если длину представить мерой единица, а площадь – мерой два, то нужна мера 3/2. Такую -меру определил Хаусдорф для любого . Каждому множеству в евклидовом пространстве он сопоставил число, которое назвал метрической размерностью. Он же привел первые примеры множеств с дробной размерностью. Выяснилось, что именно она характеризует канторово множество, кривую Коха и другие необычные объекты. Идеи Хаусдорфа были впоследствии развиты Безиковичем. И размерность Хаусдорфа-Безиковича получила широкое применение в ряде разделов математики. Широкому применению этих понятий в других областях (включая гуманитарные проблемы) способствовали работы В. Мандельброта, который и ввел понятие фрактала, - по-латыни это означает «дробный». Ё Он впервые привел примеры некоторых фрактальных явлений в природе. Им же отмечено основное свойство фракталов: если разбить фрактал на сколь угодно малые части, каждая из них оказывается просто уменьшенной копией целого. Это свойство получило название самоподобия. Оно резко отличает фракталы от объектов классической геометрии.

Перед тем, как оценивать фрактальные свойства атмосферной турбулентности, с целью лучшего понимания привлекаемых представлений рассмотрим фрактальную структуру вещества.

Известно, что конденсированное состояние вещества может существовать не только в форме плотной сплошной среды, но и в виде сильно разрыхленных пористых структур. Такого рода структуры образуются, как правило, в результате конденсации в сложных неравновесных условиях при слипании движущихся по определенному закону твердых частиц.

Рассмотрим образование конденсированных сред, первая из которых имеет обычную компактную структуру, а вторая – рыхлую, фрактальную. Если образование является компактным, число структурных элементов (атомов, молекул, частиц) в зародыше новой фазы размера R определяется соотношением:

, (195)

где d - размерность пространства.

Такой же вид функциональной зависимости характерен и для выделенного объема , где - геометрический фактор, учитывающий форму выделения. Если выделение имеет равноосную форму, то при размерностях d=1, 2, 3 равно соответственно 2, или . Тогда плотность компактного выделения

(196)

оказывается величиной, не зависящей от размера. Здесь через обозначен объем.

В случае некомпактных сред картина совсем другая. Для рыхлого фрактального агрегата размера число частиц определяется как

, (197)

где - фрактальная размерность. Она не совпадает с размерностью пространства d для плотного состояния, что и определяет аномальный характер этой зависимости.

В результате плотность

(198)

при для рыхлой структуры будет убывающей функцией размера. Это отражает некомпактный характер фрактала, тогда как для компактного образования от размера частиц не зависит (196). Чем больше различие между фрактальной и топологической d размерностью, тем более рыхлой является фрактальная структура.

Таким образом, одной из основных характеристик фрактальной системы является фрактальная размерность. И она не совпадает с размерностью того пространства, в котором фрактал образуется.

Такой же подход к изучению фрактальной структуры вещества может быть использован для анализа свойств атмосферной турбулентности.

Представим область, в которой движется турбулентная воздушная масса, разбитой на ячейки с ребром , соответствующим колмогоровскому масштабу. В фиксированный момент времени движение в одних ячейках будет ламинарным, - безвихревым,- в других – турбулентным. Под действием вязкости вихри такого масштаба быстро затухают. Пусть - вероятность, с которой турбулизована данная ячейка. Если , турбулизованных ячеек нет. При турбулизованными оказываются все ячейки. Существует некоторая критическая концентрация при вероятности , при которой впервые возникает бесконечный кластер из турбулизованных ячеек. И тогда ситуация резко меняется. До его появления вся вводимая в область движения энергия шла на увеличение числа турбулизованных ячеек и диссипацию. С появлением кластера эта энергия может отводиться по нему из области турбулентного движения. При этом концентрация турбулизованных ячеек при наличии такого кластера может флуктуационно возрастать. Но новые ячейки под действием вязкости будут затухать, поскольку постоянного подвода к ним энергии не будет. В самом бесконечном кластере устойчивым будет лишь скелет, состоящий из множества ячеек, принадлежащих бесконечному множеству путей по кластеру. Как уже было сказано, под действием вязкости конечные ветки кластера будут затухать. Образуемые в таких системах критические кластеры представляют собой фрактальные объекты. Можно показать, что универсальный критический параметр зависит только от топологической размерности пространства, поскольку характеристический размер вихревого кластера вблизи определяется соотношением:

. (199)

Как показали многие авторы, применявшие различные модели, при d=3 =0,9. С учетом этого значения определяют фрактальную размерность вихревого кластера как D=5/3. Пористость кластера проявляется в реальности как перемежаемость областей с сильной и слабой турбулентностью (см. рис.).

Теперь рассмотрим основные соотношения, позволяющие проводить фрактальный анализ флуктуационных характеристик электромагнитных сигналов.

Представим некоторый случайный процесс . Определим его приращение во времени:

. (200)

Пусть это приращение имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией при ( - положительная константа):

. (201)

Отсюда вытекают соответствующие выражения для дисперсии и математического ожидания при любых и :

. (202)

Входящий в эти соотношения параметр носит название параметра Хёрста. Удовлетворяющий этим соотношениям сигнал будет обладать свойством статистического самоподобия, то есть

(203)

для любого .

Свойство самоподобия определяет масштабную инвариантность фрактала, - так называемый скейлинг. Для реального естественного фрактала существует, очевидно, определенный масштаб скейлинга, характеризующий интервал между некоторыми минимальными и максимальными масштабами длины, вне пределов которого свойство самоподобия пропадает.

Статистическое самоподобие сигнала определяет фрактальную структуру графика . Оценка показывает, что фрактальная размерность и параметр Херста в этом случае связаны зависимостью

. (204)

На практике для определения параметра Херста обычно используют соотношение

, (205)

которое является следствием (202) и свидетельствует, что величина определяется тангенсом угла наклона зависимости от .

Участки, для которых D>1, характеризуют сигнал, обладающий фрактальными свойствами. Близость значения D к единице на определенном участке прямой говорит об отсутствии фрактальных свойств у сигнала на соответствующем участке (см. рис.).

Существует отдельный класс неоднородных фрактальных объектов, для полного описания которых недостаточно введения лишь одной фрактальной размерности D и необходим целый спектр таких размерностей. Такие объекты носят название мультифракталов. Наряду с чисто геометрическими характеристиками, определяемыми параметром D, такие фракталы обладают еще и некоторыми статистическими свойствами. Идея мультифрактального анализа состоит в разложении анализируемого анализируемого множества со сложной статистикой по множествам однородных фракталов с четко выраженной фрактальной размерностью. Для характеристики мультифрактального множества используют понятие функции мультифрактального спектра или спектра сингулярностей мультифракталов. Таким образом, мультифрактал представляется как объединение различных однородных фрактальных подмножеств, каждое из которых имеет собственное значение фрактальной размерности.