Сильная турбулентность

В настоящее время интенсивно развивается теория распространения электромагнитных волн в средах с сильно развитой турбулентностью в применении к пучкам и длинным трассам. Выяснилось, что экспериментальные результаты, полученные на сравнительно длинных трассах, не находят теоретического объяснения в рамках метода плавных возмущений. Было показано, что приближение метода плавных возмущений эквивалентно модели распространения волн в виде случайных фазовых экранов без учета многократного рассеяния на турбулентных неоднородностях. Вызванное этим обстоятельством развитие теории привело к привлечению новых методов (диаграммной техники, теории переноса излучения и других. Среди них значительное внимание было уделено методу параболического уравнения (или марковскому приближению).

Ма́рковский проце́сс — случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значения временно́го параметра tt {\displaystyle t} не зависит от эволюции, предшествовавшей tt {\displaystyle t}, при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано («будущее» процесса не зависит от «прошлого» при известном «настоящем»; другая трактовка (Вентцель): «будущее» процесса зависит от «прошлого» лишь через «настоящее»).

Связь между нормальными и марковскими процессами состоит в том, что они частично пересекаются.

Ограничимся краткими сведениями об основных результатах анализа распространения пучков на длинных трассах. В основу вычислений положим волновое уравнение для среды с переменным показателем преломления , случайно меняющимся в пространстве и времени:

. (169)

Здесь

Представим электрическое поле пучка волн, распространяющихся вдоль оси х, в виде:

. (170)

Подставляя это выражение в волновое уравнение (169), пренебрежем членом .

Воспользуемся приближенным равенством .

Тогда

. (171)

Это уравнение носит название параболического приближения и описывает распространение пучков в условиях малой угловой расходимости (поскольку мы пренебрегли величиной по сравнению с и другими членами). Условия применимости этого приближения известны и могут быть записаны в виде неравенств:

(172)

В эти выражения входят значения так называемых внутреннего и внешнего размеров неоднородностей и структурной характеристики флуктуаций, характеризующей интенсивность турбулентных возмущений показателя преломления на трассе. Первое из них налагает требование узконаправленности диаграммы рассеяния неоднородностей в направлении распространения. Второе означает пренебрежимо малый уровень рассеяния мощности поля на расстояниях порядка длины волны. Для типичных значений параметров трасс и турбулентности эти условия выполняются в оптическом диапазоне для трасс длиной в сотни километров.

От полученного уравнения можно перейти к уравнениям для моментов случайной величины Е разных порядков. Метод такого перехода основан на предположении о дельта-коррелированности флуктуаций показателя преломления в направлении распространения. Иными словами, в этом случае неоднородности показателя преломления представляются дисками, ориентированными перпендикулярно направлению распространения. При таком подходе к дальнейшему развитию теории достаточно просто получить ряд полезных отношений.

Выразим аналитически дельта-коррелированность флуктуаций величины n:

(173)

Здесь – пространственный спектр флуктуаций показателя преломления, - волновой вектор, - вектор в плоскости .

Функциона́л — это отображение, заданное на произвольном множестве и имеющее числовую область значений: обычно множество вещественных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } или комплексных чисел C {\displaystyle \mathbb {C} }. Область определения функционала может быть любым множеством.