Характеристики излучения в случайно-неоднородной среде с гауссовской функцией корреляции

Вычисление приведенных интегралов можно осуществить аналитическим путем и сделать ряд заключений, не конкретизируя вида функции или взяв для нее аппроксимирующую кривую. Не приводя подробных вычислений, сформулируем основные теоретические выводы, вытекающие из конечных соотношений для неоднородностей, характерные линейные размеры которых значительно превышают длину волны

Функция корреляции может быть аппроксимирована кривой Гаусса, достаточно хорошо отображающей встречающиеся реальные условия:

(160)

Несложно получить асимптотические выражения для дисперсий флуктуаций уровня и фазы для двух значений величины D, называемой волновым параметром:

, (161)

где - радиус первой зоны Френеля.

Рассмотрим случай D>>1. При этом

(162)

Таким образом, для случая больших D получили, что флуктуации уровня и фазы одинаковы и растут пропорционально расстоянию до точке приема z, – длине трассы.

Пусть теперь D<<1.

Тогда

(163)

. (164)

В этом случае средний квадрат случайных вариаций фазы растет пропорционально расстоянию, а средний квадрат флуктуаций уровня – кубу расстояния. Дело в том, что при малых значениях волнового параметра средний размер неоднородностей больше первой зоны Френеля:

(165)

Следовательно, в пределах зоны Френеля отклонения показателя преломления имеют один знак. Волны, рассеиваемые отдельными элементами объема, приходят в точку приема в фазе. Вследствие этого флуктуации амплитуды быстро возрастают с увеличением расстояния (пропорционально кубу расстояния). В случае малых по сравнению с зоной Френеля неоднородностей область, формирующая рассеянный сигнал, содержит большое число элементов как с положительными, так и с отрицательными отклонениями показателя преломления от среднего. В результате далеко не все волны, создаваемые отдельными элементами рассеивающего объема, приходят в точку приема в одной или мало отличающихся фазах. Это приводит к их частичной компенсации, в силу чего рост флуктуаций с расстоянием происходит сравнительно медленно, пропорционально расстоянию в первой степени, в соответствии с соотношением (162).

Не менее важными, а в большинстве случаев –особенно существенными статистическими характеристиками случайных вариаций уровня и фазы волн, распространяющихся в атмосфере, служат функции или коэффициенты корреляции, представляющие количественную оценку связи одной флуктуирующей величины с другой или двух ее разнесенных во времени или пространстве значений.

Соответствующие функции корреляции для флуктуаций уровня и фазы, а также взаимные корреляции между уровнем и фазой могут быть вычислены с использованием соотношений (157) и (158) как среднее значение произведения двух соответствующих величин.

Приведем конечный результат этого вычисления для пространственной функции корреляции флуктуаций показателя преломления в виде гауссоиды.

Для больших значений волнового параметра (фактически, для типичных тропосферных трасс) получаем:

.

Если ввести дополнительное предположение

, (166)

то вычисления пространственного коэффициента корреляции между величинами фазы и уровня в двух точках, разнесенных вдоль трассы, приводят к следующим соотношениям:

. (167)

Отсюда легко найти радиус или интервал корреляции, определяемый как расстояние, на котором коэффициент корреляции принимает значение 0,5 (или 1/e):

(168)

Это соотношение показывает, что интервал продольной корреляции уровня и фазы в рассматриваемом случае больших D, когда , значительно превышает интервал корреляции флуктуаций показателя преломления, определяемый размером неоднородностей .

Соотношения (157) и (158) позволяют получить значения коэффициентов корреляции флуктуаций уровня и фазы при разнесении поперек трассы. При малых D кривая коэффициента корреляции флуктуаций уровня несколько отличается от совпадающих кривых, относящихся к фазе и показателю преломления. Однако интервалы корреляции всех кривых примерно одинаковы. При больших D интервал поперечной корреляции как уровня, так и фазы близок к интервалу поперечной корреляции вариаций показателя преломления в среде. Сравнение с данными по продольному разнесению (168) свидетельствует, что пространственная функция корреляции уровня и фазы поля волны при больших значениях волнового параметра анизотропны даже при изотропном характере флуктуаций показателя преломления.