1. Решение транспортной задачи методом линейного программирования
1.1. Определение кратчайших расстояний между пунктами транспортной сети
Модель транспортной сети представляет собой чертеж-схему на плане местности с указанием вершин (пунктов) транспортной сети. Ее построение производится по заданной схеме расположения пунктов, по наличию звеньев сети, соединяющих два соседних пункта, и длине этих звеньев. В нашем курсовом проекте мы использовали готовую схему транспортной сети, которая приведена в Приложении 1.
Для решения задачи отыскания кратчайших расстояний между пунктами транспортной сети применяется метод потенциалов, как наиболее удобный. В этом случае задача решается по алгоритму, состоящему из двух шагов.
Шаг 1. Начальному пункту, от которого требуется определить кратчайшие расстояния, присваивается потенциал Vi = 0.
Шаг 2. Просматриваются все звенья, начальные пункты i которых имеют потенциал Vi, а для конечных j потенциалы не присвоены. Затем определяются значения потенциалов конечных пунктов j по следующей формуле:
(1.1)
где Vj(i) – потенциал конечного пункта j звена i-j; lij – длина звена i-j, т.е. расстояние между пунктами i и j.
Из всех полученных потенциалов выбирается потенциал c наименьшим значением, т.е. определяется:
;
(1.2)
Где {Vj(i)} – множество значений потенциалов конечных пунктов j звеньев i-j, i-м начальным пунктом которых ранее присвоены потенциалы; {Vj’(i’)} – потенциал конечного пункта j’ звена i’-j’, являвшийся наименьшим по значению элементом множества {Vj(i)}.
Потенциал {Vj’(i’)} присваивается соответствующему конечному пункту j’, а звено i’-j’ отмечается звездочкой.
Шаг 2 повторяется до тех пор, пока всем вершинам заданной сети не будут присвоены потенциалы.
Ниже приведен расчета для пунктов А1 – Б5 транспортной сети.
Таблица 1.1. – Расчет кратчайших расстояний для пункта А1.
№ шага |
Пункты транспортной сети |
|||||||||
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
Б4 |
Б5 |
|
1 |
(0, −)* |
(∞, −) |
(12, А1) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(6, А1) |
(18,А1) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(16, А1) |
2 |
|
(20;Б1) |
(12, А1) |
(16, Б1) |
(∞, −) |
(6, А1)* |
(18,А1) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(16, А1) |
3 |
|
(20;Б1) |
(12, А1)* |
(16, Б1) |
(25;А3) |
|
(18,А1) |
(31;А3) |
(30;А3) |
(16, А1) |
4 |
|
(20;Б1) |
|
(16, Б1)* |
(25;А3) |
|
(18,А1) |
(31;А3) |
(30;А3) |
(16, А1) |
5 |
|
(20;Б1) |
|
|
(25;А3) |
|
(18,А1) |
(31;А3) |
(30;А3) |
(16, А1)* |
6 |
|
(20;Б1) |
|
|
(25;А3) |
|
(18,А1)* |
(31;А3) |
(30;А3) |
|
7 |
|
(20;Б1)* |
|
|
(25;А3) |
|
|
(29;А2) |
(30;А3) |
|
8 |
|
|
|
|
(25;А3)* |
|
|
(29;А2) |
(30;А3) |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
(29;А2)* |
(30;А3) |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(30;А3)* |
|
Таблица 1.2. – Расчет кратчайших расстояний для пункта А2.
№ шага |
Пункты транспортной сети |
|||||||||
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
Б4 |
Б5 |
|
1 |
(∞, −) |
(0, −)* |
(∞, −) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(14, А2) |
(5;А2) |
(9, А2) |
(16, А2) |
(18, А2) |
2 |
(23;Б2) |
|
(13;Б2) |
(32;Б2) |
(36;Б2) |
(14, А2) |
(5;А2)* |
(9, А2) |
(16, А2) |
(18, А2) |
3 |
(23;Б2) |
|
(13;Б2) |
(32;Б2) |
(36;Б2) |
(14, А2) |
|
(9, А2)* |
(16, А2) |
(18, А2) |
4 |
(23;Б2) |
|
(13;Б2)* |
(32;Б2) |
(26;А3) |
(14, А2) |
|
|
(16, А2) |
(18, А2) |
5 |
(20;Б1) |
|
|
(24;Б1) |
(26;А3) |
(14, А2)* |
|
|
(16, А2) |
(18, А2) |
6 |
(20;Б1) |
|
|
(24;Б1) |
(22;Б4) |
|
|
|
(16, А2)* |
(18; А2) |
7 |
(20;Б1) |
|
|
(24;Б1) |
(22;Б4) |
|
|
|
|
(18; А2)* |
8 |
(20;Б1)* |
|
|
(24;Б1) |
(22;Б4) |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
(24;Б1) |
(22;Б4)* |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
(24;Б1)* |
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.3. – Расчет кратчайших расстояний для пункта А3.
№ шага |
Пункты транспортной сети |
|||||||||
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
Б4 |
Б5 |
|
1 |
(12;А3) |
(∞, −) |
(0, −)* |
(∞, −) |
(13, А3) |
(16, А3) |
(8, А3) |
(19, А3) |
(18, А3) |
(7, А3) |
2 |
(12;А3) |
(25;Б5) |
|
(16, Б5) |
(13, А3) |
(16, А3) |
(8, А3) |
(19, А3) |
(18, А3) |
(7, А3)* |
3 |
(12;А3) |
(13;Б2) |
|
(16, Б5) |
(13, А3) |
(16, А3) |
(8, А3)* |
(19, А3) |
(18, А3) |
|
4 |
(12;А3)* |
(13;Б2) |
|
(16; Б5) |
(13, А3) |
(16, А3) |
|
(19, А3) |
(18, А3) |
|
5 |
|
(13;Б2)* |
|
(16; Б5) |
(13, А3) |
(16, А3) |
|
(19, А3) |
(18, А3) |
|
6 |
|
|
|
(16; Б5) |
(13, А3)* |
(16, А3) |
|
(19, А3) |
(18, А3) |
|
7 |
|
|
|
(16; Б5)* |
|
(16, А3) |
|
(19, А3) |
(18, А3) |
|
8 |
|
|
|
|
|
(16, А3)* |
|
(19, А3) |
(18, А3) |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
(19, А3) |
(18, А3)* |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
(19, А3)* |
|
|
Таблица 1.4. – Расчет кратчайших расстояний для пункта А4.
№ шага |
Пункты транспортной сети |
|||||||||
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
Б4 |
Б5 |
|
1 |
(∞, −) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(0, −)* |
(∞, −) |
(10, А4) |
(27, А4) |
(∞, −) |
(14;А4) |
(9; А4) |
2 |
(25;Б5) |
(27, Б5) |
(16; Б5) |
|
(20;Б5) |
(10, А4) |
(27, А4) |
(∞, −) |
(14;А4) |
(9; А4)* |
3 |
(16;Б1) |
(24;Б1) |
(16; Б5) |
|
(20;Б5) |
(10, А4)* |
(27, А4) |
(∞, −) |
(14;А4) |
|
4 |
(16;Б1) |
(24;Б1) |
(16; Б5) |
|
(20;Б5) |
|
(27, А4) |
(∞, −) |
(14;А4)* |
|
5 |
(16;Б1)* |
(24;Б1) |
(16; Б5) |
|
(20;Б5) |
|
(27, А4) |
(∞, −) |
|
|
6 |
|
(24;Б1) |
(16; Б5)* |
|
(20;Б5) |
|
(27, А4) |
(35, А3) |
|
|
7 |
|
(24;Б1) |
|
|
(20;Б5)* |
|
(27, А4) |
(35, А3) |
|
|
8 |
|
(24;Б1)* |
|
|
|
|
(27, А4) |
(33, А2) |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
(27, А4)* |
(33, А2) |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
(33, А2)* |
|
|
Таблица 1.5. – Расчет кратчайших расстояний для пункта А5.
№ шага |
Пункты транспортной сети |
|||||||||
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
Б4 |
Б5 |
|
1 |
(∞, −) |
(∞, −) |
(13;А5) |
(∞, −) |
(0, −)* |
(∞, −) |
(31;А5) |
(∞, −) |
(6;А5) |
(11;А5) |
2 |
(∞, −) |
(22;Б4) |
(13;А5) |
(20, Б4) |
|
(∞, −) |
(31;А5) |
(∞, −) |
(6;А5)* |
(11;А5) |
3 |
(27;Б5) |
(22;Б4) |
(13;А5) |
(20, Б4) |
|
(∞, −) |
(31;А5) |
(∞, −) |
|
(11;А5)* |
4 |
(25;А3) |
(22;Б4) |
(13;А5)* |
(20, Б4) |
|
(29;А3) |
(21;А3) |
(32;А3) |
|
|
5 |
(25;А3) |
(22;Б4) |
|
(20, Б4)* |
|
(29;А3) |
(21;А3) |
(32;А3) |
|
|
6 |
(25;А3) |
(22;Б4) |
|
|
|
(29;А3) |
(21;А3)* |
(32;А3) |
|
|
7 |
(25;А3) |
(22;Б4)* |
|
|
|
(29;А3) |
|
(31;А2) |
|
|
8 |
(25;А3)* |
|
|
|
|
(29;А3) |
|
(31;А2) |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
(29;А3)* |
|
(31;А2) |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
(31;А2) |
|
|
Таблица 1.6. – Расчет кратчайших расстояний для пункта Б1.
№ шага |
Пункты транспортной сети |
|||||||||
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
Б4 |
Б5 |
|
1 |
(6, Б1) |
(14, Б1) |
(16, Б1) |
(10;Б1) |
(∞, −) |
(0, −)* |
(∞, −) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(∞, −) |
2 |
(6, Б1)* |
(14, Б1) |
(16, Б1) |
(10;Б1) |
(∞, −) |
|
(24, А1) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(22, А1) |
3 |
|
(14, Б1) |
(16, Б1) |
(10;Б1)* |
(∞, −) |
|
(24, А1) |
(∞, −) |
(24, А4) |
(19, А4) |
4 |
|
(14, Б1)* |
(16, Б1) |
|
(∞, −) |
|
(19;А2) |
(25, А3) |
(24, А4) |
(19, А4) |
5 |
|
|
(16, Б1)* |
|
(29;А3) |
|
(19;А2) |
(25, А3) |
(24, А4) |
(19, А4) |
6 |
|
|
|
|
(29;А3) |
|
(19;А2)* |
(25, А3) |
(24, А4) |
(19, А4) |
7 |
|
|
|
|
(29;А3) |
|
|
(25, А3) |
(24, А4) |
(19, А4)* |
8 |
|
|
|
|
(29;А3) |
|
|
(25, А3) |
(24, А4)* |
|
9 |
|
|
|
|
(29;А3) |
|
|
(25, А3)* |
|
|
10 |
|
|
|
|
(29;А3)* |
|
|
|
|
|
Таблица 1.7. – Расчет кратчайших расстояний для пункта Б2
№ шага |
Пункты транспортной сети |
|||||||||
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
Б4 |
Б5 |
|
1 |
(18;Б2) |
(5, Б2) |
(8, Б2) |
(27, Б2) |
(31;Б2) |
(∞, −) |
(0, −)* |
(∞, −) |
(∞, −) |
(∞, −) |
2 |
(18;Б2) |
(5, Б2)* |
(8, Б2) |
(27, Б2) |
(31;Б2) |
(19;А2) |
|
(14, А2) |
(21;А2) |
(23;А2) |
3 |
(18;Б2) |
|
(8, Б2)* |
(27, Б2) |
(21;А3) |
(19;А2) |
|
(14, А2) |
(21;А2) |
(15;А3) |
4 |
(18;Б2) |
|
|
(27, Б2) |
(21;А3) |
(19;А2) |
|
(14, А2)* |
(21;А2) |
(15;А3) |
5 |
(18;Б2) |
|
|
(27, Б2) |
(21;А3) |
(19;А2) |
|
|
(21;А2) |
(15;А3)* |
6 |
(18;Б2)* |
|
|
(27, Б2) |
(21;А3) |
(19;А2) |
|
|
(21;А2) |
|
7 |
|
|
|
(27, Б2) |
(21;А3) |
(19;А2)* |
|
|
(21;А2) |
|
8 |
|
|
|
(27, Б2) |
(21;А3)* |
|
|
|
(21;А2) |
|
9 |
|
|
|
(27, Б2) |
|
|
|
|
(21;А2) |
|
10 |
|
|
|
(27, Б2)* |
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.8. – Расчет кратчайших расстояний для пункта Б3.
№ шага |
Пункты транспортной сети |
|||||||||
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
Б4 |
Б5 |
|
1 |
(∞, −) |
(9, Б3) |
(19, Б3) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(0, −)* |
(∞, −) |
(∞, −) |
2 |
(∞, −) |
(9, Б3)* |
(19, Б3) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(25, А2) |
(14;А2) |
|
(25, А2) |
(27, А2) |
3 |
(32;Б2) |
|
(19, Б3) |
(41;Б2) |
(45;Б2) |
(25, А2) |
(14;А2) |
|
(25, А2) |
(27, А2) |
4 |
(31;А3) |
|
(19, Б3)* |
(41;Б2) |
(32;А3) |
(25, А2) |
|
|
(25, А2) |
(26, А3) |
5 |
(29;Б1) |
|
|
(33;Б1) |
(32;А3) |
(25, А2)* |
|
|
(25, А2) |
(26, А3) |
6 |
(29;Б1) |
|
|
(33;Б1) |
(31;Б4) |
|
|
|
(25, А2)* |
(26, А3) |
7 |
(29;Б1) |
|
|
(33;Б1) |
(31;Б4) |
|
|
|
|
(26, А3)* |
8 |
(29;Б1)* |
|
|
(33;Б1) |
(31;Б4) |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
(33;Б1) |
(31;Б4)* |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
(33;Б1) |
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.9. – Расчет кратчайших расстояний для пункта Б4.
№ шага |
Пункты транспортной сети |
|||||||||
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
Б4 |
Б5 |
|
1 |
(∞, −) |
(16, Б4) |
(18, Б4) |
(14;Б4) |
(6;Б4) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(0, −)* |
(∞, −) |
2 |
(∞, −) |
(16, Б4) |
(18, Б4) |
(14;Б4) |
(6;Б4)* |
(∞, −) |
(37;А4) |
(∞, −) |
|
(17, А5) |
3 |
(∞, −) |
(16, Б4) |
(18, Б4) |
(14;Б4)* |
|
(24;А4) |
(37;А4) |
(∞, −) |
|
(17, А5) |
4 |
(∞, −) |
(16, Б4)* |
(18, Б4) |
|
|
(24;А4) |
(21;А2) |
(25, А2) |
|
(17, А5) |
5 |
(33;Б5) |
|
(18, Б4) |
|
|
(24;А4) |
(21;А2) |
(25, А2) |
|
(17, А5)* |
6 |
(30;А3) |
|
(18, Б4)* |
|
|
(24;А4) |
(21;А2) |
(25, А2) |
|
|
7 |
(30;А3) |
|
|
|
|
(24;А4) |
(21;А2)* |
(25, А2) |
|
|
8 |
(30;А3) |
|
|
|
|
(24;А4)* |
|
(25, А2) |
|
|
9 |
(30;А3) |
|
|
|
|
|
|
(25, А2)* |
|
|
10 |
(30;А3)* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.10. – Расчет кратчайших расстояний для пункта Б5.
№ шага |
Пункты транспортной сети |
|||||||||
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
Б4 |
Б5 |
|
1 |
(16, Б5) |
(18, Б5) |
(7, Б5) |
( 9;Б5) |
(11;Б5) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(∞, −) |
(0, −)* |
2 |
(16, Б5) |
(18, Б5) |
(7, Б5)* |
( 9;Б5) |
(11;Б5) |
(23, А3) |
(15, А3) |
(26, А3) |
(25, А3) |
|
3 |
(16, Б5) |
(18, Б5) |
|
( 9;Б5)* |
(11;Б5) |
(19, А4) |
(15, А3) |
(26, А3) |
(25, А3) |
|
4 |
(16, Б5) |
(18, Б5) |
|
|
(11;Б5)* |
(19, А4) |
(15, А3)* |
(26, А3) |
(17, А5) |
|
5 |
(16, Б5) |
(18, Б5) |
|
|
|
(19, А4) |
|
(26, А3) |
(17, А5) |
|
6 |
(16, Б5)* |
(18, Б5) |
|
|
|
(19, А4) |
|
(26, А3) |
(17, А5) |
|
7 |
|
(18, Б5) |
|
|
|
(19, А4) |
|
(26, А3) |
(17, А5)* |
|
8 |
|
(18, Б5)* |
|
|
|
(19, А4) |
|
(26, А3) |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
(19, А4)* |
|
(26, А3) |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
(26, А3)* |
|
|
Таблица 1.11. – Кратчайшие расстояния между пунктами транспортной сети (км).
|
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
Б4 |
Б5 |
А1 |
0 |
20 |
12 |
16 |
25 |
6 |
18 |
29 |
30 |
16 |
А2 |
20 |
0 |
13 |
24 |
22 |
14 |
5 |
9 |
16 |
18 |
А3 |
12 |
13 |
0 |
16 |
13 |
16 |
8 |
19 |
18 |
7 |
А4 |
16 |
24 |
16 |
0 |
20 |
10 |
27 |
33 |
14 |
9 |
А5 |
25 |
22 |
13 |
20 |
0 |
29 |
21 |
31 |
6 |
11 |
Б1 |
6 |
14 |
16 |
10 |
29 |
0 |
19 |
25 |
24 |
19 |
Б2 |
18 |
5 |
8 |
27 |
21 |
19 |
0 |
14 |
21 |
15 |
Б3 |
29 |
9 |
19 |
33 |
31 |
25 |
14 |
0 |
25 |
26 |
Б4 |
30 |
16 |
18 |
14 |
6 |
24 |
21 |
25 |
0 |
17 |
Б5 |
16 |
18 |
7 |
9 |
11 |
19 |
15 |
26 |
17 |
0 |