- •Определим наличие гетероскедастичности.
- •Как и в случае парной регрессии, для индивидуальных наблюдений вместо теоретического уравнения будем оценивать эмпирическое уравнение регрессии
- •Для проверки статистической значимости коэффициентов b0, b1, b2 рассчитаем оценку дисперсии по формуле используя данные таблицы 6:
- •Определим для рассчитанного уравнения коэффициент детерминации:
-
Для проверки статистической значимости коэффициентов b0, b1, b2 рассчитаем оценку дисперсии по формуле используя данные таблицы 6:
, где n - число наблюдений n = 22, m - количество объясняющих переменных m = 2.
Определим дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов используя данные таблицы 5:
=
==
=112,8786 = 28,5887;
=112,8786 = 0,0215.
= = 0,1466.
= 112,8786 = 0,1085.
= = 0,3293.
Проверим статистическую значимость коэффициентов b0, b1 и b2 при помощи отношений t-статистики. Рассчитаем соответствующие -статистики по формуле: . , , .
Проверим статистическую значимость коэффициентов на основе распределения Стьюдента. По таблице, приведенной в приложении 1 учебного пособия «Эконометрика», определим критические значения с уровнем значимости : . Таким образом, , , .
-
Определим 95%-е интервальные оценки коэффициентов по формуле:
для : (0,2032–2,0395,3468; 0,2032+2,0395,3468), т.е. (–10,6989; 11,1053);
для : (1, 2795–2,0390,1416; 1, 2795+2,0390,1416), т.е. (0,9908; 1,5682);
для : (1,2971–2,0390,3293; 1,2971+2,0390,3293), т.е. (0,6257; 1,9685).
-
Для проверки общего качества уравнения множественной линейной регрессии рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:
==1-0,1512=0,8488.
Так как коэффициент близок к единице, то это говорит о высоком качестве модели.
Проведем анализ статистической значимости коэффициента детерминации на основе F-статистики:
= =53,33015.
Это расчетное значение F сравним с критическим Fкр= F, где α=0,05; v1= m =2; v2 = n-m-1=19.
F0,05;2;19 определяем на основе распределения Фишера (приложение 2 учебного пособия «Эконометрика»): F0,05;2;19= 3,52. Очевидно, что 53,33015>3,52, следовательно, коэффициент детерминации статистически значим.
Задание 3. Определить линейно-логарифмическую модель вида Ŷ = b0 + b2lnX2;
-
проверить статистическую значимость коэффициентов,
-
определить интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии,
-
определить доверительные интервалы для зависимой переменной,
-
проверить общее качество уравнения регрессии (коэффициент детерминации и его статистическую значимость).
Решение.
-
Приведем линейно-логарифмическую модель Ŷ = b0 + b2lnX2 к линейной модели путем замены: = lnX2, т.е.: Ŷ = b0 + b2. Для определения коэффициентов в этой модели определим логарифмы переменной X2 = , ()2, Y и представим их в таблице 7.
Таблица 7.
i |
|
ŷi |
ei |
e |
- |
|
||||
1 |
3,95 |
91,76 |
1,3737 |
1,8871 |
126,0521 |
51,4945 |
40,2655 |
1621,309 |
0,1545 |
0,0239 |
2 |
15,34 |
38,68 |
2,7305 |
7,4554 |
105,6143 |
65,4772 |
-26,7972 |
718,088 |
1,5113 |
2,2839 |
3 |
0,39 |
34,14 |
-0,9416 |
0,8866 |
-32,1465 |
27,6328 |
6,5072 |
42,3439 |
-2,1608 |
4,6691 |
4 |
0,61 |
30,77 |
-0,4943 |
0,2443 |
-15,2095 |
32,2428 |
-1,4728 |
2,1691 |
-1,7135 |
2,9361 |
5 |
1,6 |
50,02 |
0,4700 |
0,2209 |
23,5096 |
42,1809 |
7,8391 |
61,4522 |
-0,7492 |
0,5613 |
6 |
6,33 |
34,33 |
1,8453 |
3,4051 |
63,3492 |
56,3547 |
-22,0247 |
485,0858 |
0,6261 |
0,3920 |
7 |
8,14 |
42,63 |
2,0968 |
4,3965 |
89,3862 |
58,9465 |
-16,3165 |
266,2288 |
0,8776 |
0,7702 |
8 |
1,36 |
63,47 |
0,3075 |
0,0945 |
19,5161 |
40,5059 |
22,9641 |
527,3482 |
-0,9117 |
0,8312 |
9 |
2,44 |
19,86 |
0,8920 |
0,7957 |
17,7151 |
46,5299 |
-26,6699 |
711,2853 |
-0,3272 |
0,1071 |
10 |
8,7 |
58,87 |
2,1633 |
4,6799 |
127,3548 |
59,6322 |
-0,7622 |
0,5809 |
0,9441 |
0,8914 |
11 |
3,87 |
72,45 |
1,3533 |
1,8313 |
98,0433 |
51,2836 |
21,1664 |
448,0148 |
0,1341 |
0,0180 |
12 |
6,77 |
29,7 |
1,9125 |
3,6577 |
56,8013 |
57,0472 |
-27,3472 |
747,8713 |
0,6933 |
0,4807 |
13 |
29,33 |
93,74 |
3,3786 |
11,4150 |
316,711 |
72,1569 |
21,5830 |
465,8275 |
2,1594 |
4,6631 |
14 |
0,62 |
17,77 |
-0,4780 |
0,2285 |
-8,4947 |
32,4104 |
-14,6404 |
214,3402 |
-1,6972 |
2,8806 |
15 |
11,01 |
78,84 |
2,3988 |
5,7543 |
189,1217 |
62,0591 |
16,7809 |
281,5995 |
1,1796 |
1,3915 |
16 |
1,6 |
39,73 |
0,4700 |
0,2209 |
18,6732 |
42,1809 |
-2,4509 |
6,0067 |
-0,7492 |
0,5613 |
17 |
15,75 |
93,87 |
2,7568 |
7,6002 |
258,7846 |
65,749 |
28,1210 |
790,7908 |
1,5376 |
2,3643 |
18 |
1,81 |
86,15 |
0,5933 |
0,3520 |
51,1151 |
43,4518 |
42,6982 |
1823,134 |
-0,6259 |
0,3917 |
19 |
2,3 |
25,95 |
0,8329 |
0,6937 |
21,6139 |
45,9209 |
-19,9710 |
398,8393 |
-0,3863 |
0,1492 |
20 |
5,7 |
36,95 |
1,7405 |
3,0292 |
64,3102 |
55,2742 |
-18,3242 |
335,7779 |
0,5213 |
0,2717 |
21 |
14,79 |
45,78 |
2,6940 |
7,2574 |
123,3291 |
65,1009 |
-19,3209 |
373,2957 |
1,4748 |
2,1749 |
22 |
0,28 |
12,36 |
-1,2730 |
1,6204 |
-15,7339 |
24,2178 |
-11,8578 |
140,6078 |
-2,4922 |
6,2109 |
Сум |
142,69 |
1097,82 |
26,8228 |
67,7268 |
1699,416 |
|
|
10462,0 |
|
35,0239 |
Средн |
6,49 |
49,90 |
1,2192 |
3,0785 |
77,2462 |
|
|
|
|
|
i |
|
ŷi |
ei |
e |
|
|
По аналогии с заданием 1 найдем оценки b0 и b2, используя метод наименьших квадратов по формулам:
b2 = , b0 = .
b2 = == 10,306.
b0 = 49,90-10,3061,219 = 37,337.
Следовательно, модель имеет вид: Ŷ = 37,337 + 10,306lnX2.
По этому уравнению рассчитаем оценкуŷi и оценку ei = - ŷi, дополним этими расчетами приведенную выше таблицу 7.
-
Для проверки статистической значимости коэффициентов b0 и b2 рассчитаем оценку дисперсии S2, стандартную ошибку оценки S, стандартные ошибки коэффициентов регрессии Sb0, Sb2:
S2 = == 523,1; S = = 22,87.
== 14,935; Sb2 = = 3,8646.
= = 3,078514,935 = 45,977; = 6,78.
Проверим статистическую значимость коэффициентов b0 и b2 при помощи отношений t-статистики:
== 2,67.
== 5,51.
В случае , то статистическая значимость соответствующего коэффициента регрессии подтверждается. Критическое значение при уровне значимости α=0,05 (находим с использованием распределений Стьюдента - Приложение 1).
2,086, (так как n = 22 по таблице исходных данных).
Так как =2,67>2,086, то это подтверждает статистическую значимость коэффициента регрессии b2. Аналогично для b0.
Так как =5,51>2,086, то это подтверждает статистическую значимость и коэффициента регрессии b0.
-
Интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии с надежностью 95% (α = 0,05) для b0 и b2 рассчитаем по формулам:
Для b0 (37,337- 2,086 х 6,78; 37,337+ 2,086 х 6,78) = (23,19392; 51,48008).
Для b2 (10,306 - 2,086 x 3,8646; 10,306 + 2,086 x 3,8646) = (2,2444; 18,3676).
-
Определим доверительные интервалы для зависимой переменной. Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных объемов дохода при неограниченно большом числе наблюдений и уровне расхода на промышленные товары X2 = 29,33. Принимаем xp = X2 и считаем по формуле:
37,337+ 10,306 x 29,33 2,086 x 22,87 x = 339,61 23,605.
Таким образом, интервал имеет вид: (363,215; 316,005).
-
Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:
R2 = 1 - = 0,262.
Коэффициент детерминации достаточно низкий (значительно меньше 1), что свидетельствует о низком качестве уравнения линейно – логарифмической модели.
Задание 4. Определить авторегрессионную модель вида Ŷ = b0 + b2X2+bYt-1;
-
проверить статистическую значимость коэффициентов,
-
определить интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии,
-
определить доверительные интервалы для зависимой переменной,
-
проверить общее качество уравнения регрессии (коэффициент детерминации и его статистическую значимость).
Решение.
-
Для расчета коэффициентов модели составим вспомогательную таблицу 8. При составлении столбца yt-1 примем y0 = 20,36.
Рассчитаем коэффициенты по формулам:
===1,57.
===-0,2479.
= 49,9-1,576,4859+0,247950,26=52,1766.
Таким образом, уравнение регрессии с учетом рассчитанных коэффициентов примет вид: ŷt = 52,1766+1,57xt2 – 0,2479yt-1.
-
Для проверки статистической значимости коэффициентов и оценки качества уравнения регрессии составим вспомогательную таблицу 9. Значения ŷt получим подставляя соответствующие значения xt2 и yt-1 в эмпирическое уравнение :
ŷt = 52,1766+1,57xt2 – 0,2479yt-1. Отклонения рассчитаем et = yt - ŷt.
t |
|
|||||||||||
1 |
3,95 |
91,76 |
20,36 |
-2,5359 |
41,8591 |
-29,9045 |
6,4308 |
1752,184253 |
894,27912 |
-106,15 |
-1251,78 |
75,83482 |
2 |
15,34 |
38,68 |
91,76 |
8,8541 |
-11,2209 |
41,4955 |
78,3951 |
125,9085968 |
1721,87652 |
-99,351 |
-465,617 |
367,4053 |
3 |
0,39 |
34,14 |
38,68 |
-6,0959 |
-15,7609 |
-11,5845 |
37,1600 |
248,4059688 |
134,20064 |
96,0769 |
182,5821 |
70,61795 |
4 |
0,61 |
30,77 |
34,14 |
-5,8759 |
-19,1309 |
-16,1245 |
34,5262 |
365,9913348 |
259,9995 |
112,4113 |
308,4762 |
94,74595 |
5 |
1,6 |
50,02 |
30,77 |
-4,8859 |
0,1191 |
-19,4945 |
23,8720 |
0,0142 |
380,03553 |
-0,5819 |
-2,32179 |
95,24818 |
6 |
6,33 |
34,33 |
50,02 |
-0,1559 |
-15,5709 |
-0,2445 |
0,0243 |
242,4529268 |
0,05978025 |
2,4275 |
3,807085 |
0,038118 |
7 |
8,14 |
42,63 |
34,33 |
1,6541 |
-7,2709 |
-15,9345 |
2,7360 |
52,8660 |
253,90829 |
-12,0268 |
115,8582 |
-26,3573 |
8 |
1,36 |
63,47 |
42,63 |
-5,1259 |
13,5691 |
-7,6345 |
26,2749 |
184,1204748 |
58,2855902 |
-69,5538 |
-103,593 |
39,13368 |
9 |
2,44 |
19,86 |
63,47 |
-4,0459 |
-30,0409 |
13,2055 |
16,3693 |
902,4556728 |
174,38523 |
121,5425 |
-396,705 |
-53,4281 |
10 |
8,7 |
58,87 |
19,86 |
2,2141 |
8,9691 |
-30,4045 |
4,9022 |
80,4448 |
924,43362 |
19,8585 |
-272,701 |
-67,3186 |
11 |
3,87 |
72,45 |
58,87 |
-2,6159 |
22,5491 |
8,6055 |
6,8429 |
508,4619108 |
74,0546303 |
-58,9862 |
194,0463 |
-22,5111 |
12 |
6,77 |
29,7 |
72,45 |
0,2841 |
-20,2009 |
22,1855 |
0,0807 |
408,0763608 |
492,19641 |
-5,7391 |
-448,167 |
6,302901 |
13 |
29,33 |
93,74 |
29,7 |
22,8441 |
43,8391 |
-20,5645 |
521,8529 |
1921,866689 |
422,89866 |
1001,465 |
-901,529 |
-469,777 |
14 |
0,62 |
17,77 |
93,74 |
-5,8659 |
-32,1309 |
43,4755 |
34,4088 |
1032,394735 |
1890,1191 |
188,4766 |
-1396,91 |
-255,023 |
15 |
11,01 |
78,84 |
17,77 |
4,5241 |
28,9391 |
-32,4945 |
20,4675 |
837,4715088 |
1055,89253 |
130,9234 |
-940,362 |
-147,008 |
16 |
1,6 |
39,73 |
78,84 |
-4,8859 |
-10,1709 |
28,5755 |
23,8720 |
103,4472068 |
816,5592 |
49,694 |
-290,639 |
-139,617 |
17 |
15,75 |
93,87 |
39,73 |
9,2641 |
43,9691 |
-10,5345 |
85,8235 |
1933,281755 |
110,97569 |
407,3341 |
-463,192 |
-97,5927 |
18 |
1,81 |
86,15 |
93,87 |
-4,6759 |
36,2491 |
43,6055 |
21,8640 |
1313,997251 |
1901,43963 |
-169,497 |
1580,66 |
-203,895 |
19 |
2,3 |
25,95 |
86,15 |
-4,1859 |
-23,9509 |
35,8855 |
17,5218 |
573,6456108 |
1287,76911 |
100,2561 |
-859,49 |
-150,213 |
20 |
5,7 |
36,95 |
25,95 |
-0,7859 |
-12,9509 |
-24,3145 |
0,6176 |
167,7258108 |
591,19491 |
10,1781 |
314,8947 |
19,10877 |
21 |
14,79 |
45,78 |
36,95 |
8,3041 |
-4,1209 |
-13,3145 |
68,9581 |
16,9818 |
177,27591 |
-34,2204 |
54,86772 |
-110,565 |
22 |
0,28 |
12,36 |
45,78 |
-6,2059 |
-37,5409 |
-4,4845 |
38,5132 |
1409,319173 |
20,1107403 |
232,9751 |
168,3522 |
27,83036 |
Сумма |
142,69 |
1097,8 |
1105,82 |
|
|
|
1071,5139 |
14181,51398 |
13641,9503 |
1917,512 |
-4869,45 |
-947,041 |
Средн. |
6,4859 |
49,9009 |
50,2645 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 9
t |
xt2 |
yt |
yt-1 |
ŷt |
et |
||
1 |
3,95 |
91,76 |
20,36 |
414,5296 |
53,3309 |
38,42914 |
1476,799 |
2 |
15,34 |
38,68 |
91,76 |
8419,8976 |
53,5131 |
-14,8331 |
220,0207 |
3 |
0,39 |
34,14 |
38,68 |
1496,1424 |
43,2001 |
-9,06013 |
82,08592 |
4 |
0,61 |
30,77 |
34,14 |
1165,5396 |
44,671 |
-13,901 |
193,2376 |
5 |
1,6 |
50,02 |
30,77 |
946,7929 |
47,0607 |
2,959283 |
8,757356 |
6 |
6,33 |
34,33 |
50,02 |
2502,0004 |
49,7147 |
-15,3847 |
236,6903 |
7 |
8,14 |
42,63 |
34,33 |
1178,5489 |
56,446 |
-13,816 |
190,8817 |
8 |
1,36 |
63,47 |
42,63 |
1817,3169 |
43,7438 |
19,72618 |
389,1221 |
9 |
2,44 |
19,86 |
63,47 |
4028,4409 |
40,2732 |
-20,4132 |
416,6982 |
10 |
8,7 |
58,87 |
19,86 |
394,4196 |
60,9123 |
-2,04231 |
4,171014 |
11 |
3,87 |
72,45 |
58,87 |
3465,6769 |
43,6586 |
28,79137 |
828,9432 |
12 |
6,77 |
29,7 |
72,45 |
5249,0025 |
44,8451 |
-15,1451 |
229,3754 |
13 |
29,33 |
93,74 |
29,7 |
882,09 |
90,8621 |
2,87793 |
8,282481 |
14 |
0,62 |
17,77 |
93,74 |
8787,1876 |
29,9119 |
-12,1419 |
147,4246 |
15 |
11,01 |
78,84 |
17,77 |
315,7729 |
65,0571 |
13,78288 |
189,9679 |
16 |
1,6 |
39,73 |
78,84 |
6215,7456 |
35,1442 |
4,585836 |
21,02989 |
17 |
15,75 |
93,87 |
39,73 |
1578,4729 |
67,055 |
26,81497 |
719,0425 |
18 |
1,81 |
86,15 |
93,87 |
8811,5769 |
31,7479 |
54,40207 |
2959,586 |
19 |
2,3 |
25,95 |
86,15 |
7421,8225 |
34,431 |
-8,48102 |
71,92762 |
20 |
5,7 |
36,95 |
25,95 |
673,4025 |
54,6926 |
-17,7426 |
314,7997 |
21 |
14,79 |
45,78 |
36,95 |
1365,3025 |
66,237 |
-20,457 |
418,4886 |
22 |
0,28 |
12,36 |
45,78 |
2095,8084 |
41,2673 |
-28,9073 |
835,6342 |
Сумма |
142,69 |
1097,82 |
1105,82 |
69225,49 |
1097,78 |
0,044278 |
9962,966 |
Средн. |
6,4859 |
49,9009 |
50,2645 |
3146,6132 |
49,8989 |
0,002013 |
452,8621 |
Рассчитаем необъясненную дисперсию и стандартные отклонения случайных величин по формулам:
=
==0,04634.
=0,2153.
=
==0,0000023.
=0,0015.
=
==0,00000018.
=0,00042.
Статистическую значимость коэффициентов регрессии с объясняющими переменными проверяется на основе -статистики:
,
имеющей в данном случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы . При требуемом уровне значимости наблюдаемое значение -статистики сравнивается с критической точной распределения Стьюдента.
В случае, если , то статистическая значимость соответствующего коэффициента регрессии подтверждается. Это означает, что фактор линейно связан с зависимой переменной . Если же установлен факт незначимости коэффициента , то рекомендуется исключить из уравнения переменную . Это не приведет к существенной потере качества модели, но сделает ее более конкретной.
==242,34 ==1046,66. == -590,238.
.Критическое значение определим из распределения Стьюдента для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы =19;
=1,729. Так как t>t, t>t, t<t, то коэффициенты b0, b2 являются статистически значимыми с уровнем значимости 0,1, а коэффициент b - незначимым.