2. Для проверки статистической значимости коэффициентов b0, b1, b2 рассчитаем оценку дисперсии по формуле используя данные таблицы 6:

, где n - число наблюдений n = 22, m - количество объясняющих переменных m = 2.

Определим дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов используя данные таблицы 5:

=

==

=112,8786 = 28,5887;

=112,8786 = 0,0215.

= = 0,1466.

= 112,8786 = 0,1085.

= = 0,3293.

Проверим статистическую значимость коэффициентов b₀, b₁ и b₂ при помощи отношений t-статистики. Рассчитаем соответствующие -статистики по формуле: . , , .

Проверим статистическую значимость коэффициентов на основе распределения Стьюдента. По таблице, приведенной в приложении 1 учебного пособия «Эконометрика», определим критические значения с уровнем значимости : . Таким образом, , , .

2. Определим 95%-е интервальные оценки коэффициентов по формуле:

для : (0,2032–2,0395,3468; 0,2032+2,0395,3468), т.е. (–10,6989; 11,1053);

для : (1, 2795–2,0390,1416; 1, 2795+2,0390,1416), т.е. (0,9908; 1,5682);

для : (1,2971–2,0390,3293; 1,2971+2,0390,3293), т.е. (0,6257; 1,9685).

2. Для проверки общего качества уравнения множественной линейной регрессии рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

==1-0,1512=0,8488.

Так как коэффициент близок к единице, то это говорит о высоком качестве модели.

Проведем анализ статистической значимости коэффициента детерминации на основе F-статистики:

= =53,33015.

Это расчетное значение F сравним с критическим F_кр= F, где α=0,05; v₁= m =2; v₂ = n-m-1=19.

F_0,05;2;19 определяем на основе распределения Фишера (приложение 2 учебного пособия «Эконометрика»): F_0,05;2;19= 3,52. Очевидно, что 53,33015>3,52, следовательно, коэффициент детерминации статистически значим.

Задание 3. Определить линейно-логарифмическую модель вида Ŷ = b₀ + b₂lnX₂;

• проверить статистическую значимость коэффициентов,

• определить интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии,

• определить доверительные интервалы для зависимой переменной,

• проверить общее качество уравнения регрессии (коэффициент детерминации и его статистическую значимость).

Решение.

1. Приведем линейно-логарифмическую модель Ŷ = b₀ + b₂lnX₂ к линейной модели путем замены: = lnX₂, т.е.: Ŷ = b₀ + b₂. Для определения коэффициентов в этой модели определим логарифмы переменной X₂ = , ()², Y и представим их в таблице 7.

Таблица 7.

i						ŷi	ei	e	-
1	3,95	91,76	1,3737	1,8871	126,0521	51,4945	40,2655	1621,309	0,1545	0,0239
2	15,34	38,68	2,7305	7,4554	105,6143	65,4772	-26,7972	718,088	1,5113	2,2839
3	0,39	34,14	-0,9416	0,8866	-32,1465	27,6328	6,5072	42,3439	-2,1608	4,6691
4	0,61	30,77	-0,4943	0,2443	-15,2095	32,2428	-1,4728	2,1691	-1,7135	2,9361
5	1,6	50,02	0,4700	0,2209	23,5096	42,1809	7,8391	61,4522	-0,7492	0,5613
6	6,33	34,33	1,8453	3,4051	63,3492	56,3547	-22,0247	485,0858	0,6261	0,3920
7	8,14	42,63	2,0968	4,3965	89,3862	58,9465	-16,3165	266,2288	0,8776	0,7702
8	1,36	63,47	0,3075	0,0945	19,5161	40,5059	22,9641	527,3482	-0,9117	0,8312
9	2,44	19,86	0,8920	0,7957	17,7151	46,5299	-26,6699	711,2853	-0,3272	0,1071
10	8,7	58,87	2,1633	4,6799	127,3548	59,6322	-0,7622	0,5809	0,9441	0,8914
11	3,87	72,45	1,3533	1,8313	98,0433	51,2836	21,1664	448,0148	0,1341	0,0180
12	6,77	29,7	1,9125	3,6577	56,8013	57,0472	-27,3472	747,8713	0,6933	0,4807
13	29,33	93,74	3,3786	11,4150	316,711	72,1569	21,5830	465,8275	2,1594	4,6631
14	0,62	17,77	-0,4780	0,2285	-8,4947	32,4104	-14,6404	214,3402	-1,6972	2,8806
15	11,01	78,84	2,3988	5,7543	189,1217	62,0591	16,7809	281,5995	1,1796	1,3915
16	1,6	39,73	0,4700	0,2209	18,6732	42,1809	-2,4509	6,0067	-0,7492	0,5613
17	15,75	93,87	2,7568	7,6002	258,7846	65,749	28,1210	790,7908	1,5376	2,3643
18	1,81	86,15	0,5933	0,3520	51,1151	43,4518	42,6982	1823,134	-0,6259	0,3917
19	2,3	25,95	0,8329	0,6937	21,6139	45,9209	-19,9710	398,8393	-0,3863	0,1492
20	5,7	36,95	1,7405	3,0292	64,3102	55,2742	-18,3242	335,7779	0,5213	0,2717
21	14,79	45,78	2,6940	7,2574	123,3291	65,1009	-19,3209	373,2957	1,4748	2,1749
22	0,28	12,36	-1,2730	1,6204	-15,7339	24,2178	-11,8578	140,6078	-2,4922	6,2109
Сум	142,69	1097,82	26,8228	67,7268	1699,416			10462,0		35,0239
Средн	6,49	49,90	1,2192	3,0785	77,2462
i						ŷi	ei	e

По аналогии с заданием 1 найдем оценки b₀ и b₂, используя метод наименьших квадратов по формулам:

b₂ = , b₀ = .

b₂ = == 10,306.

b₀ = 49,90-10,3061,219 = 37,337.

Следовательно, модель имеет вид: Ŷ = 37,337 + 10,306lnX₂.

По этому уравнению рассчитаем оценкуŷ_i и оценку e_i = - ŷ_i, дополним этими расчетами приведенную выше таблицу 7.

2. Для проверки статистической значимости коэффициентов b₀ и b₂ рассчитаем оценку дисперсии S², стандартную ошибку оценки S, стандартные ошибки коэффициентов регрессии S_b0, S_b2:

S² = == 523,1; S = = 22,87.

== 14,935; S_b2 = = 3,8646.

= = 3,078514,935 = 45,977; = 6,78.

Проверим статистическую значимость коэффициентов b₀ и b₂ при помощи отношений t-статистики:

== 2,67.

== 5,51.

В случае , то статистическая значимость соответствующего коэффициента регрессии подтверждается. Критическое значение при уровне значимости α=0,05 (находим с использованием распределений Стьюдента - Приложение 1).

2,086, (так как n = 22 по таблице исходных данных).

Так как =2,67>2,086, то это подтверждает статистическую значимость коэффициента регрессии b₂. Аналогично для b₀.

Так как =5,51>2,086, то это подтверждает статистическую значимость и коэффициента регрессии b₀.

2. Интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии с надежностью 95% (α = 0,05) для b₀ и b₂ рассчитаем по формулам:

Для b₀ (37,337- 2,086 х 6,78; 37,337+ 2,086 х 6,78) = (23,19392; 51,48008).

Для b₂ (10,306 - 2,086 x 3,8646; 10,306 + 2,086 x 3,8646) = (2,2444; 18,3676).

2. Определим доверительные интервалы для зависимой переменной. Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных объемов дохода при неограниченно большом числе наблюдений и уровне расхода на промышленные товары X₂ = 29,33. Принимаем x_p = X₂ и считаем по формуле:

37,337+ 10,306 x 29,33 2,086 x 22,87 x = 339,61 23,605.

Таким образом, интервал имеет вид: (363,215; 316,005).

2. Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

R² = 1 - = 0,262.

Коэффициент детерминации достаточно низкий (значительно меньше 1), что свидетельствует о низком качестве уравнения линейно – логарифмической модели.

Задание 4. Определить авторегрессионную модель вида Ŷ = b₀ + b₂X₂+bY_t-1;

• проверить статистическую значимость коэффициентов,

• определить интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии,

• определить доверительные интервалы для зависимой переменной,

• проверить общее качество уравнения регрессии (коэффициент детерминации и его статистическую значимость).

Решение.

1. Для расчета коэффициентов модели составим вспомогательную таблицу 8. При составлении столбца y_t-1 примем y₀ = 20,36.

Рассчитаем коэффициенты по формулам:

===1,57.

===-0,2479.

= 49,9-1,576,4859+0,247950,26=52,1766.

Таким образом, уравнение регрессии с учетом рассчитанных коэффициентов примет вид: ŷ_t = 52,1766+1,57x_t2 – 0,2479y_t-1.

2. Для проверки статистической значимости коэффициентов и оценки качества уравнения регрессии составим вспомогательную таблицу 9. Значения ŷ_t получим подставляя соответствующие значения x_t2 и y_t-1 в эмпирическое уравнение :

ŷ_t = 52,1766+1,57x_t2 – 0,2479y_t-1. Отклонения рассчитаем e_t = y_t - ŷ_t.

t
1	3,95	91,76	20,36	-2,5359	41,8591	-29,9045	6,4308	1752,184253	894,27912	-106,15	-1251,78	75,83482
2	15,34	38,68	91,76	8,8541	-11,2209	41,4955	78,3951	125,9085968	1721,87652	-99,351	-465,617	367,4053
3	0,39	34,14	38,68	-6,0959	-15,7609	-11,5845	37,1600	248,4059688	134,20064	96,0769	182,5821	70,61795
4	0,61	30,77	34,14	-5,8759	-19,1309	-16,1245	34,5262	365,9913348	259,9995	112,4113	308,4762	94,74595
5	1,6	50,02	30,77	-4,8859	0,1191	-19,4945	23,8720	0,0142	380,03553	-0,5819	-2,32179	95,24818
6	6,33	34,33	50,02	-0,1559	-15,5709	-0,2445	0,0243	242,4529268	0,05978025	2,4275	3,807085	0,038118
7	8,14	42,63	34,33	1,6541	-7,2709	-15,9345	2,7360	52,8660	253,90829	-12,0268	115,8582	-26,3573
8	1,36	63,47	42,63	-5,1259	13,5691	-7,6345	26,2749	184,1204748	58,2855902	-69,5538	-103,593	39,13368
9	2,44	19,86	63,47	-4,0459	-30,0409	13,2055	16,3693	902,4556728	174,38523	121,5425	-396,705	-53,4281
10	8,7	58,87	19,86	2,2141	8,9691	-30,4045	4,9022	80,4448	924,43362	19,8585	-272,701	-67,3186
11	3,87	72,45	58,87	-2,6159	22,5491	8,6055	6,8429	508,4619108	74,0546303	-58,9862	194,0463	-22,5111
12	6,77	29,7	72,45	0,2841	-20,2009	22,1855	0,0807	408,0763608	492,19641	-5,7391	-448,167	6,302901
13	29,33	93,74	29,7	22,8441	43,8391	-20,5645	521,8529	1921,866689	422,89866	1001,465	-901,529	-469,777
14	0,62	17,77	93,74	-5,8659	-32,1309	43,4755	34,4088	1032,394735	1890,1191	188,4766	-1396,91	-255,023
15	11,01	78,84	17,77	4,5241	28,9391	-32,4945	20,4675	837,4715088	1055,89253	130,9234	-940,362	-147,008
16	1,6	39,73	78,84	-4,8859	-10,1709	28,5755	23,8720	103,4472068	816,5592	49,694	-290,639	-139,617
17	15,75	93,87	39,73	9,2641	43,9691	-10,5345	85,8235	1933,281755	110,97569	407,3341	-463,192	-97,5927
18	1,81	86,15	93,87	-4,6759	36,2491	43,6055	21,8640	1313,997251	1901,43963	-169,497	1580,66	-203,895
19	2,3	25,95	86,15	-4,1859	-23,9509	35,8855	17,5218	573,6456108	1287,76911	100,2561	-859,49	-150,213
20	5,7	36,95	25,95	-0,7859	-12,9509	-24,3145	0,6176	167,7258108	591,19491	10,1781	314,8947	19,10877
21	14,79	45,78	36,95	8,3041	-4,1209	-13,3145	68,9581	16,9818	177,27591	-34,2204	54,86772	-110,565
22	0,28	12,36	45,78	-6,2059	-37,5409	-4,4845	38,5132	1409,319173	20,1107403	232,9751	168,3522	27,83036
Сумма	142,69	1097,8	1105,82				1071,5139	14181,51398	13641,9503	1917,512	-4869,45	-947,041
Средн.	6,4859	49,9009	50,2645

Таблица 8

Таблица 9

t	xt2	yt	yt-1		ŷt	et
1	3,95	91,76	20,36	414,5296	53,3309	38,42914	1476,799
2	15,34	38,68	91,76	8419,8976	53,5131	-14,8331	220,0207
3	0,39	34,14	38,68	1496,1424	43,2001	-9,06013	82,08592
4	0,61	30,77	34,14	1165,5396	44,671	-13,901	193,2376
5	1,6	50,02	30,77	946,7929	47,0607	2,959283	8,757356
6	6,33	34,33	50,02	2502,0004	49,7147	-15,3847	236,6903
7	8,14	42,63	34,33	1178,5489	56,446	-13,816	190,8817
8	1,36	63,47	42,63	1817,3169	43,7438	19,72618	389,1221
9	2,44	19,86	63,47	4028,4409	40,2732	-20,4132	416,6982
10	8,7	58,87	19,86	394,4196	60,9123	-2,04231	4,171014
11	3,87	72,45	58,87	3465,6769	43,6586	28,79137	828,9432
12	6,77	29,7	72,45	5249,0025	44,8451	-15,1451	229,3754
13	29,33	93,74	29,7	882,09	90,8621	2,87793	8,282481
14	0,62	17,77	93,74	8787,1876	29,9119	-12,1419	147,4246
15	11,01	78,84	17,77	315,7729	65,0571	13,78288	189,9679
16	1,6	39,73	78,84	6215,7456	35,1442	4,585836	21,02989
17	15,75	93,87	39,73	1578,4729	67,055	26,81497	719,0425
18	1,81	86,15	93,87	8811,5769	31,7479	54,40207	2959,586
19	2,3	25,95	86,15	7421,8225	34,431	-8,48102	71,92762
20	5,7	36,95	25,95	673,4025	54,6926	-17,7426	314,7997
21	14,79	45,78	36,95	1365,3025	66,237	-20,457	418,4886
22	0,28	12,36	45,78	2095,8084	41,2673	-28,9073	835,6342
Сумма	142,69	1097,82	1105,82	69225,49	1097,78	0,044278	9962,966
Средн.	6,4859	49,9009	50,2645	3146,6132	49,8989	0,002013	452,8621

Рассчитаем необъясненную дисперсию и стандартные отклонения случайных величин по формулам:

=

==0,04634.

=0,2153.

=

==0,0000023.

=0,0015.

=

==0,00000018.

=0,00042.

Статистическую значимость коэффициентов регрессии с объясняющими переменными проверяется на основе -статистики:

,

имеющей в данном случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы . При требуемом уровне значимости наблюдаемое значение -статистики сравнивается с критической точной распределения Стьюдента.

В случае, если , то статистическая значимость соответствующего коэффициента регрессии подтверждается. Это означает, что фактор линейно связан с зависимой переменной . Если же установлен факт незначимости коэффициента , то рекомендуется исключить из уравнения переменную . Это не приведет к существенной потере качества модели, но сделает ее более конкретной.

==242,34 ==1046,66. == -590,238.

.Критическое значение определим из распределения Стьюдента для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы =19;

=1,729. Так как t>t, t>t, t<t, то коэффициенты b₀, b₂ являются статистически значимыми с уровнем значимости 0,1, а коэффициент b - незначимым.