Решение задачи 2
Запишем систему в матричном виде:
,
или AX
= B,
где
(Во втором уравнении системы отсутствует неизвестная х3, т. е. а23 = 0).
2) Решим систему с помощью формул Крамера. Для этого по формулам (29) составляем главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений и три вспомогательных определителя:
Вычислим эти определители, используя формулу (25):
Так как ∆ ≠ 0, то данная система имеет единственное решение.
Найдем решение системы по формулам Крамера (30):
3) Решим систему при помощи обратной матрицы.
Определитель
следовательно, обратная матрица
существует.
б)
Чтобы найти союзную матрицу
к матрице А,
необходимо вычислить по формулам (26)
алгебраические
дополнения всех ее элементов:
Здесь определители 2-го порядка вычислены по формуле (24).
Тогда
союзная матрица (см. формулу (31)):
в) Найдем обратную матрицу по формуле (32):
г) Получим решение системы при помощи обратной матрицы по формуле (33) (правило "строка на столбец"):
.
Решение, полученное матричным способом, совпадает с тем, которое получено по формулам Крамера, что подтверждает правильность этого решения.
Ответы:
1) система в матричном виде: AX = B, где
;
2) решение системы, полученное с помощью формул Крамера:
;
3) решение системы, полученное при помощи обратной матрицы:
.
Решение задачи 3
Модуль вектора вычисляется по формуле (35):
.
Чтобы найти координаты вектора , используем формулы (38) и (39):
тогда
Косинус угла между векторами и найдем по формуле (41):
.
Для
этого вычислим скалярное произведение
и
по формуле (40):
= –2∙0 + 2∙(–3) + (–1)∙4 = –10, затем модуль
вектора
:
,
тогда
и
Проекцию вектора на направление вычислим по формуле (42):
Площадь треугольника, построенного на векторах и найдем по формуле (44). Для этого сначала находим векторное произведение этих векторов по формуле (43):
Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах и :
(кв.
ед.).
Для вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах находим смешанное произведение векторов по формуле (45):
тогда
объема параллелепипеда по формуле (47):
.
Ответы:
модуль вектора :
координаты вектора :
угол между векторами и :
проекция вектора на направление вектора :
площадь треугольника, построенного на векторах и :
(кв. ед.);объем параллелепипеда, построенного на векторах :
(куб. ед.).
Решение задачи 4
Длину ребра
найдем по формуле (36):
Чтобы получить уравнение плоскости грани ABC, необходимо найти вектор, перпендикулярный плоскости ABC, т. е. вектор, перпендикулярный векторам и
.
Одним из таких векторов является
векторное произведение
на
.
Для того, чтобы найти его, сначала
вычислим координаты векторов по формуле
(37):
= {–3–(–2); 2–1; –1–1} = {–1; 1; –2},
=
{7; –3; –3}.
Векторное произведение и найдем по формуле (43):
В
качестве вектора нормали к плоскости
ABC
можно взять любой вектор,
коллинеарный полученному, например,
=
{9; 17; 4}. Используем уравнение плоскости,
проходящей через точку
перпендикулярно вектору
(формула (48):
– уравнение плоскости грани ABC.
Прежде, чем найти угол
между гранями ABC
и BCD,
получим уравнение грани BCD,
используя уравнение плоскости, проходящей
через три
заданные точки
(формула (49):
– уравнение
грани BCD.
Из
уравнения плоскости BCD
возьмем координаты вектора нормали
,
перпендикулярного этой плоскости:
={3;
7; –4}.
Косинус угла между плоскостями (гранями) ABC и BCD найдем по формуле(50):
Отсюда
.
Уравнения ребра AB можно записать как параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(–2; 1; 1) и имеющей направляющий вектор
= {–1; 1; –2} (формулы (51)):
– параметрические
уравнения AB.
Другой
способ: можно использовать уравнения
прямой, проходящей через две точки
(формулы (53)):
откуда, обозначив каждую из дробей t, получаем:
–
параметрические
уравнения AB.
Высота пирамиды DK – это прямая, проведенная из вершины D перпендикулярно грани ABC. Она имеет направляющий вектор
,
коллинеарный
вектору
нормали плоскости ABC.
Можно взять, например,
=
=
{9; 17; 4}.
Запишем
канонические уравнения высоты DK,
используя точку D(–1;
0; –3)
и
вектор
= {9; 17; 4} (формулы (52)):
– канонические
уравнения DK.
Прежде, чем найти точку пересечения DK и грани ABC, получим параметрические уравнения прямой DK. Обозначив каждую из дробей в канонических уравнениях буквой t, получаем:
– параметрические
уравнения DK.
Точка
пересечения DK
и грани ABC
(точка К)
лежит на прямой, а значит,
имеет
координаты 
,
и принадлежит плоскости,
т.
е. ее координаты удовлетворяют уравнению
плоскости ABC.
Поэтому координаты
точки K
найдем, решив систему:
Решим последнее уравнение относительно t:
Вычислим координаты точки K, подставив найденное значение параметра в первые три уравнения системы:
Итак,
точка пересечения DK
и грани ABC:
.
Угол между ребрами AB и BC найдем, как угол между на- правляющими векторами прямых AB и BC: = {–1; 1; –2} и
= {8; –4; –1}. Найдем косинус угла
по формуле(54):
Тогда
угол между ребрами AB
и BC:
Чтобы определить угол между ребром AD и гранью ABC, найдем направляющий вектор прямой:
= {1; –1; –4}.
Плоскость ABC
имеет вектор нормали
= {9; 17; 4}. Синус угла
между прямой
и плоскостью ABC
можно вычислить по формуле (55):
Т
огда
угол между ребром AD
и гранью ABC:
9) Выполним чертеж пирамиды в системе координат (рис. 19).
Ответы:
1)
2)
АВС:
3) ;
4)
DK: ;
;
7)
;
8)
;
9) чертеж пирамиды на рис. 19.