7. Уравнение плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости: ,

где A, B, C – координаты вектора нормали вектора (любого вектора, перпендикулярного данной плоскости), D – свободный член уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. (48)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

:

. (49)

Угол между двумя плоскостями, заданными уравнениями и определяется как угол между векторами их нормалей и или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), то есть

. (50)

8. Уравнения прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой l в пространстве:

(51)

где – фиксированная точка прямой; – направляющий вектор прямой l, т. е. любой вектор, параллельный l; t – числовой параметр.

Каждому значению параметра соответствует единственная точка прямой l.

Канонические уравнения прямой:

. (52)

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки и :

. (53)

Углом между прямыми называют угол между их направляющими векторами = {m₁; n₁; p₁} и = {m₂; n₂; p₂}, или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), т. е.

. (54)

Углом между плоскостью и прямой l (в случае их пересечения) называется угол между прямой и её проекцией на плоскость. Синус угла между плоскостью и прямой определяется по формуле:

. (55)

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы № 2

Задача 1. Даны многочлен f(x) и матрица А:

Требуется найти значение матричного многочлена f (A).

Задача 2. Дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

Требуется:

1) записать систему в матричном виде;

2) найти решение системы с помощью формул Крамера;

3) решить систему при помощи обратной матрицы.

Задача 3. Даны координаты трех векторов: и вектор :

, .

Требуется:

1. вычислить модуль вектора ;

2. найти координаты вектора ;

3. найти угол φ между векторами и ;

4. вычислить проекцию вектора на направление вектора ;

5. вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и ;

6. вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Задача 4. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD:

Требуется:

1) вычислить длину ребра AB;

2) найти уравнение плоскости грани ABC;

3) найти угол между гранями ABC и BCD;

4) составить параметрические уравнения прямой AB;

5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;

6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;

7) найти угол между ребрами AB и BC;

8) найти угол между ребром AD и гранью ABC;

9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.

Решение задачи 1

Записываем матричный многочлен: Здесь Е – единичная матрица той же размерности, что и А, т. е. 3-го порядка.

Найдем матрицу A². При умножении матрицы A на себя используем правило "строка на столбец" (формула (23)):

A² = A·A =

Найдем матрицу 2Е, используя правило умножения матрицы на число (формула (21)):

E =

Теперь найдем значение матричного многочлена f(A), используя правило умножения матрицы на число и правило сложения матриц (формула (22)):

Ответ: