Решение задачи 3

Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:

.

Получили уравнение эллипса с центром в точке O₁(5; –2) (см. табл. 2 в разделе "справочный материал").

Осуществив параллельный перенос осей координат в системе XOY по формулам: получим каноническое уравнение эллипса в системе координат X₁O₁Y₁, где O₁(5; –2) в системе XOY (рис. 14).

Найдем характерные элементы эллипса:

.

Отсюда получаем: а = 3 – большая полуось эллипса, b = 2 – малая полуось эллипса, с = – фокусное расстояние. Координаты фокусов эллипса в системе координат X₁O₁Y₁: F₁(– ; 0), F₂( ; 0).

Найдем координаты фокусов в системе координат XOY:

Таким образом, координаты фокусов эллипса в системе координат XOY:

F₁(– ; –2), F₂( ;–2).

Вычислим эксцентриситет эллипса:

И зобразим на чертеже расположение эллипса относительно обеих систем координат (рис. 14).

Ответ: – каноническое уравнение эллипса, где

Характерные элементы:

– O₁(5; –2) – центр эллипса;

– а = 3 – б большая полуось эллипса, b = 2 – малая полуось эллипса;

– с = – фокусное расстояние;

– координаты фокусов эллипса в системе координат XOY: F₁(– ; –2), F₂( ; –2);

– эксцентриситет эллипса

Чертеж на рис. 14.

Решение задачи 4

1) Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат по переменной у (квадрат переменной х в уравнении отсутствует):

.

Получили уравнение параболы вида с вершиной в точке (см. табл. 2 в разделе "справочный материал"). Осуществим параллельный перенос осей координат по формулам: В результате получим каноническое уравнение параболы в системе координат X₁O₁Y₁.

2. Найдем точки пересечения параболы и заданной прямой в системе координат XOY. Для этого решим систему уравнений:

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках А (3; 0) и В (1; 1).

3 ) Построим обе линии в системе координат XOY (рис. 15).

Ответы: 1) ;

2) А (3; 0), В (1; 1);

3) чертеж на рис. 15.

Решение задачи 5

1) Область определения функции найдем из условия :

При n = 0 получаем при интервалы Следовательно, область определения

2) Для построения кривой в ПСК вычислим значения функции в точках 0, 1, …, 16, входящих в область определения, т. е. в точках, где выполнено условие , и заполним табл. 3.

Таблица 3

k			k
0	0	–	–	–	–
1	π/8	–	9	9π/8	3,7
2	2π/8	–	10	10π/8	2,8
3	3π/8	–	11	11π/8	1,5
4	4π/8	0	12	12π/8	0
5	5π/8	1,5	13	13π/8	–
6	6π/8	2,8	14	14π/8	–
7	7π/8	3,7	15	15π/8	–
8		4	16		–

Д ля построения точек кривой в ПСК в каждом из направлений, задаваемых углом , откладываем от полюса отрезок длины . Соединив полученные таким образом точки, получаем график функции в ПСК (рис. 16).

3) Найдем уравнение кривой, заданной в ПСК уравнением , в декартовой системе координат.

Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то, используя формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки  получим: .

Следовательно, уравнение кривой в ДСК имеет вид уравнения кривой 2-го порядка: .

4) Для определения типа кривой выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:

.

Это уравнение задает окружность с центром в точке O₁(–2; 0) и с радиусом R = 2. Найдем координаты точки O₁(–2; 0) в ПСК:

,

(здесь выбираем n = 1, так как четверти (формулы (5)).

Ответы:

1) область определения:

2) чертеж на рис. 16;

3) уравнение кривой в ДСК: ;

4) тип кривой – окружность с центром в точке и с радиусом R = 2.