9. Статистическая оценка гипотез. Критерий согласия
Пирсона (критерий )
18.
Отдел
технического контроля проверил
партий одинаковых изделий и получил
следующее эмпирическое распределение
(в первой строке указано количество
нестандартных изделий в одной партии,
во второй – частота
появления значения
в отобранных партиях):
-
0
1
2
3
4
116
56
22
4
2
Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что число нестандартных изделий распределено по закону Пуассона.
Решение. Распределение Пуассона имеет вид:
Параметр этого закона – его математическое ожидание. Поскольку оно нам неизвестно, найдем его выборочную оценку
Предполагаемый закон распределения имеет вид:
Полагая
здесь
вычислим теоретические вероятности и
теоретические частоты появления
нестандартных изделий в партии:
Аналогично
В соответствии с критерием Пирсона (критерием ) мерой различия эмпирического и теоретического распределений является величина
Для
удобства составим расчетную таблицу.
При этом учтем следующее: в математической
статистике принято объединять в одну
группу малочисленные частоты, для
которых
.
Объединим такие частоты (4+2=6) и
соответствующие им теоретические
частоты (3,96+0,60=4,56).
-
0
116
109,76
6,24
38,9376
0,3548
1
56
65,86
–9,86
97,2196
1,4762
2
22
19,76
2,24
5,0176
0,2539
3
6
4,56
1,44
2,0736
0,4547
200
=2,54
Из
расчетной таблицы находим наблюдаемое
значение критерия Пирсона
Далее
используем таблицу VII
[2], в которой приведены значения
,
удовлетворяющие равенству
,
где
– уровень значимости, а
– плотность
распределения с
степенями свободы. Число степеней
свободы определяется так:
;
–
число групп (с учетом объединения в
нашем случае
);
–
число параметров, оцениваемых по выборке
(мы оценили один параметр
,
поэтому
).
Таким образом,
и по таблице находим
Так
как
,
то это означает, что различие
экспериментальных и теоретических
данных невелико (меньше допустимого
порогового значения, определяемого
уровнем значимости
),
т.е. нет оснований отвергать гипотезу
о распределении экспериментальных
данных по закону Пуассона.
Ответ: Число нестандартных изделий распределено по закону Пуассона.
Литература
Логинов В.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций. –М. :Альтаир-МГАВТ, 20013.
Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. ТР. –М. :Высшая школа, 1983.
Логинов Вениамин Анатольевич
Теория вероятностей и математическая статистика.
Задачи с решениями
Сборник задач
Подписано в печать 20 г.
Формат: 60х90х16. Объем п.л.
Заказ № . Тираж 100 экз.
Издательство «Альтаир-МГАВТ»
Московская государственная академия водного транспорта