3. Применение комбинаторики для вычисления вероятности

4. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно . Для контроля наудачу берутся изделий. Определить вероятность того, что среди них первосортных, , и второго, третьего и четвертого сорта соответственно . Исходные данные:

2	3	2	4	1	2	2	3

Решение. Мы по-прежнему будем пользоваться формулой для классической вероятности

где – общее число исходов данного эксперимента, а – число благоприятных исходов. Но задача эта сложнее, чем задача 1. Для расчета и необходимы формулы комбинаторики. Из условия задачи ясно, что имеется партия из 11 изделий , из которой наудачу выбираются 7 . Сколько существует способов выбрать7 элементов из 11?

Комбинаторика дает ответ: выбрать элементов из имеющихся можно способами, где – произведение натуральных чисел от до . В нашем случае

А сколько имеется вариантов выбрать из имеющихся изделий какого-либо сорта? Ответ аналогичный – таких вариантов . Общее же число благоприятных исходов равно произведению этих чисел

Напомним, что в математике для удобства принято, что

Таким образом,

Ответ:

4. Вероятности суммы и произведения событий

5. В двух партиях и % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное?

Исходные данные:

34	85

Решение. Эта задача еще более сложная, чем задачи 1 и 4. Для ее решения понадобится умение применить такие понятия, как сумма и произведение событий и противоположные события.

Рассмотрим события:

– из первой партии взяли доброкачественное изделие;

– из второй партии взяли доброкачественное изделие.

Тем самым определены и два противоположных события:

– из первой партии взяли бракованное изделие;

– из второй партии взяли бракованное изделие.

Нам понадобятся вероятности этих событий. Очевидно,

Из этих четырех событий и следует составить некоторые комбинации в соответствии с вопросами а), б) и в).

Проще всего ответить на вопрос б). Два бракованных изделия – это событие, равное произведению , состоящее в том, что наступает и . Для вычисления вероятности произведения двух событий важно знать, зависимы события, или нет. Поскольку речь идет о двух разных партиях, то нет никакой связи между событиями и , они независимы. Аналогично, независимы и . Поэтому

Теперь обратимся к вопросу а). Заметим, что если событие: появилось хотя бы одно бракованное изделие (бракованных изделий или одно, или два), то противоположное событие: бракованных изделий нет вообще, т.е. оба изделия доброкачественные. Это событие , его вероятность легко вычисляется:

Искомая же вероятность

.

Осталось ответить на вопрос в). Одно доброкачественное и одно бракованное изделия могут появиться так: либо в результате события , либо . Другими словами, очередность появления из партий доброкачественного и бракованного изделий может быть различной. Таким образом, в случае в) нужен ответ на вопрос: какова вероятность сложного события ?

Для вычисления вероятности суммы событий важно знать, совместны они или нет. Очевидно, события и несовместны, хотя бы потому, что в первом из них событие не происходит, а во втором происходит. Но тогда

Мы снова воспользовались тем обстоятельством, что события, связанные с извлечением изделий из разных партий, не связаны между собой, т.е. независимы.

Остался небольшой вопрос: оказалось, что .

Что это: случайность или закономерность? Полезно разобраться в этом самостоятельно.

Ответ:

6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком , вторым – . Первый сделал выстрелов, второй – . Определить вероятность того, что цель не поражена.

Исходные данные:

Решение. Введем следующие события:

– первый стрелок промахнулся в своем -м выстреле;

– второй стрелок промахнулся в своем -м выстреле.

Поскольку при каждом выстреле попадание в цель и промах – события противоположные, то , .

По условию задачи цель осталась непораженной после выстрелов первого и выстрелов второго стрелков. Искомая вероятность есть вероятность произведения событий . Все события независимы в совокупности, так как нет никакой связи между результатами этих выстрелов. Поэтому

Ответ: