5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

7. Из 1000 ламп принадлежат -й партии, В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа бракованная.

Исходные данные:

Решение. Введем следующие события (гипотезы):

– выбранная лампа принадлежит -й партии.

Вероятности этих гипотез, очевидно, определяются размерами партий, и соответственно равны

, т.е.

Обозначим через событие: выбранная лампа оказалась бракованной. Нам потребуются условные вероятности того, что лампа бракованная, если она взята из -й партии. Эти вероятности определяются процентом брака в партиях и равны

Для такого рода задач вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности:

Ответ:

8. В первой урне белых и черных шаров, во второй белых и черных. Из первой во вторую переложено шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.

Исходные данные:

3	2	4	4	2

Решение. При решении этой задачи также следует использовать формулу полной вероятности. Но какие выбрать гипотезы? Возможны два варианта.

1. Выберем такие гипотезы:

– во вторую урну переложили 2 белых шара;

– во вторую урну переложили 1 белый и 1 черный шар;

– во вторую урну переложили 2 черных шара.

Чтобы найти вероятности этих гипотез, сначала заметим, что общее число способов извлечь 2 шара из первой урны равно . Число благоприятных исходов: для гипотезы равно , для гипотезы , а для гипотезы . Поэтому

Для контроля надо помнить, что сумма вероятностей гипотез должна равняться единице:

После перекладывания во второй урне оказалось 10 шаров. Если справедлива гипотеза , то среди них стало 6 белых и 4 черных, если же или , то соответственно 5 белых и 5 черных или 4 белых и 6 черных. Если обозначить через событие: из второй урны появился белый шар, то условные вероятности легко находятся:

Теперь по формуле полной вероятности находим

2. Другой вариант выбора гипотез:

– из второй урны вынут «чужой» шар, который первоначально находился в первой урне;

– из второй урны вынут «свой» шар.

После перекладывания во второй урне оказалось 10 шаров, 2 «чужих» и 8 «своих», поэтому

Условные вероятности – это просто вероятности извлечь белый шар из каждой урны:

Окончательно получаем

Какое же решение предпочтительнее? Первое решение может оказаться достаточно громоздким, если перекладывается большое число шаров и, соответственно, имеется много гипотез. Во втором решении гипотез всегда две, но логика рассуждений более сложная.

Cтудент может выбрать любое из этих решений. Наилучший вариант: оба решения понятны.

9. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем -й завод поставляет % изделий . Среди изделий -го завода % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено -м заводом.

Исходные данные:

20	30	50	70	80	90	2

Решение. Это задача решается с помощью формулы Байеса

,

которая позволяет найти апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез. В нашем случае

, т.е.

, т.е.

и по формуле Байеса при получаем

Ответ: