УДК 519

Л-69

Логинов В.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи с решениями – М. Альтаир-МГАВТ, 2015. –27с.

Задачи с решениями по теории вероятностей и математической статистике подготовлены профессором кафедры высшей математики Московской государственной академии водного транспорта, кандидатом технических наук В.А. Логиновым.

Учебное пособие предназначено для студентов МГАВТ и студентов дистанционного обучения МГАВТ. Оно содержит ряд задач с подробным решением и пояснениями. Охвачены следующие темы: случайные события, классическая и геометрическая вероятности, случайные величины (дискретные и непрерывные), их законы распределения. Приведено несколько задач с элементами математической статистики: выборочные оценки параметров распределений, критерии проверки статистических гипотез.

Рецензент к.т. н. Дзержинский Р.И.

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ

Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать материалов несут автор и кафедра высшей математики МГАВТ

© Логинов В.А., 2015.

© МГАВТ, 2015.

Оглавление

1. Классическая вероятность……………....………………. 4

2. Геометрическая вероятность……………….…………… 5

3. Применение комбинаторики для вычисления

вероятности ……………………………………..………… 7

4. Вероятности суммы и произведения событий…………… 8

5. Формула полной вероятности. Формула Байеса..……… 11

6. Локальная теорема Муавра-Лапласа, интегральная

теорема Лапласа, распределение Пуассона……………. 14

7. Равномерный и нормальный законы распределения….. 16

8. Точечные и интервальные оценки. Метод максимального

правдоподобия…………………………………………… 20

9. Статистическая оценка гипотез. Критерий согласия

Пирсона (критерий )………….……………………… 23

10. Литература……………………………………………….. 26

1. Классическая вероятность

1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит 7; б) произведение числа очков не превосходит 10; в) произведение числа очков делится на 6.

Решение. При бросании двух игральных костей возможны следующие 36 исходов (первая цифра означает число очков на первой кости, вторая – на другой):

11	12	13	14	15	16
21	22	23	24	25	26
31	32	33	34	35	36
41	42	43	44	45	46
51	52	53	54	55	56
61	62	63	64	65	66

Эти исходы являются равновозможными, несовместными и образуют полную группу событий. Именно в такой ситуации следует использовать формулу классической вероятности. Таким образом, .

Пусть A – событие, заключающееся в том, что в сумме выпадает не более 7 очков. Какие элементарные события ему благоприятствуют? Те, для которых в в таблице сумма цифр равна 2,3,4,5,6,7, т.е. не превышает 7 (эти исходы выделены курсивом). Таких исходов всего .

Тогда

.

Обозначим через B событие, заключающееся в том, что произведение числа очков на двух костях не превосходит 10 очков. Какие элементарные события благоприятствуют этому событию? Очевидно, это исходы 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 41, 42, 51,52, 61. Получаем .

.

Наконец, обозначим через С событие: произведение числа очков на двух костях делится на 6. Ему благоприятствуют исходы 16, 23, 26, 32, 34, 36, 43, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65 и 66. Очевидно, и

.

Ответ: , , .

2. Геометрическая вероятность

2. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит .

Решение.

x

B

A

1

0

Возьмем на оси единичный отрезок и выберем на нем две точки A и В, находящиеся на расстоянии от его концов. По условию задачи точка может появиться в любом месте единичного отрезка, а благоприятные исходы соответствуют ее положению на отрезке . Тогда в соответствии с определением геометрической вероятности

Ответ:

3. Моменты начала двух событий наудачу распределены в интервале времени от до дня. Одно из событий длится 30 мин., другое – 45 мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».

Решение. Возьмем за начало отсчета времени, обозначим через и случайные моменты начала событий и будем измерять их в минутах. Тогда и независимы и с равными возможностями оказываются внутри отрезка . В прямоугольной системе точка с координатами попадает наудачу в квадрат размером (см. рис).

Условие перекрытия событий по времени найдем из следующих соображений.

Если первое событие начинается раньше второго, т.е. , то оно не должно закончиться до его начала, т.е. должно выполняться условие . Проведем диагональ квадрата (ее уравнение ) и параллельную ей прямую (сдвинута на 30 мин. вверх). Перекрытию соответствуют все точки квадрата, находящиеся в полосе между этими наклонными прямыми.

Рассуждая аналогично, получим, что при перекрытие имеет место для всех точек квадрата внутри полосы .

Теперь воспользуемся понятием геометрической вероятности: события не перекрываются с вероятностью

.

Здесь – площадь квадрата , а и – площади прямоугольных треугольников с катетами 90–30=60 и 90–45=45, т.е.

.

Вероятность того, что события не перекрываются, равна .

Ответ: 0,653 и 0,347.