Теорема Вейерштрасса

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897) – немецкий математик.

Теорема:1.Всякая возрастающая последовательность имеет предел, конечный, если она ограничена сверху и бесконечный предел, равный , если она неограниченна сверху. Причем, предел последовательности равен её точной верхней грани: _.

2.Всякая убывающая последовательность имеет предел, конечный, если она ограничена снизу, и бесконечный предел, равный , если она неограниченна снизу, причем, предел последовательности равен её точной нижней грани: _.

Доказательство: I. 1.Пусть последовательность возрастает и ограничена сверху. Требуется доказать, что она сходится и .

2.Так как последовательность ограничена сверху, то множество значений её элементов ограничено сверху.

3.В соответствии с теоремой: «Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет точную верхнюю грань и … т.д.», то последовательность имеет точную верхнюю грань, т.е. пусть .

4.На основании свойства точной верхней грани, можно записать:

а) выполняется неравенство ;

б) .

5.Так как последовательность возрастающая, то справедливо .

6.Рассмотрим неравенства: ; ; : или , или , или , или (так как , с учетом определения модуля, если , то ).

7.Последнее неравенство равносильно , но

.

Ч.т.д.

Доказательство: II. 1.Пусть последовательность неограниченна сверху и возрастает. Требуется доказать, что .

2.Известно, что если множество неограниченно сверху, то пишут

.

3.Значит, и множество значений последовательности, неограниченной сверху, тоже будет иметь такую верхнюю грань: .

4.Так как последовательность неограниченна сверху, то

.

5.Так как последовательность возрастающая, то .

6.Сравним неравенства: и .

7.Последнее неравенство говорит о том, что является бесконечно большой последовательностью _.

Ч.т.д.

Замечание: 1. Аналогично разбирается случай убывающей последовательности.

2.Утверждения теоремы остаются в силе, если последовательность становится монотонной с определенного номера, так как без влияния на предел последовательности можно отбросить любое число её первых элементов.

Следствие №1. Для того, чтобы возрастающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.

Следствие №2. Для того, чтобы убывающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

Принцип вложенных отрезков (принцип Коши-Кантора)

(Принцип стягивающихся отрезков)

Георг Кантор (1845-1918) – немецкий математик.

Этот принцип может быть положен в основу построения действительных чисел в качестве аксиомы непрерывности или полноты.

Определение: Пусть дана последовательность отрезков таких, что последующий отрезок содержится в предыдущем: , т.е. отрезок содержит отрезок , отрезок содержит отрезок , и т.д., и выполняется неравенство: , . При возрастании длина отрезка , т.е. . Такая последовательность вложенных отрезков, называется стягивающейся.

Теорема: Для любой стягивающейся последовательности вложенных отрезков существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности, т.е. такая, что справедливо неравенство:

Доказательство:I.1.Пусть дана стягивающаяся последовательность вложенных отрезков . Требуется доказать, что , .

2.Левые концы отрезков последовательности образуют монотонную неубывающую последовательность , так как по определению : .

3.Правые концы последовательности образуют монотонную невозрастающую последовательность , так как по определению , : .

4.Последовательность ограничена сверху, так как , .

5.Последовательность ограничена снизу, так как , .

6.На основании теоремы Вейерштрасса последовательности и будут иметь конечные пределы: , .

7.Так как длина отрезка при , то можно записать или или или , т.е. .

Значит, последовательности и имеют один и тот же предел c.

8.Так как : , то , т.е. точка c принадлежит всем отрезкам последовательности . Говорят, что последовательность вложенных отрезков стягивается к точке c.

II.1.Докажем, что точка c – единственна.

2.Доказательство проведем методом от противного, т.е. пусть ещё одна точка c₁: , , .

3.Тогда для должно выполняться

4.Следовательно, . А это противоречит условию теоремы. Значит, . И точка – единственная, принадлежащая всем отрезкам последовательности .

Замечание №1. Если – стягивающаяся последовательность вложенных отрезков, и точка – точка, принадлежащая всем отрезкам данной последовательности, то и и и последовательность – неубывающая, а последовательность – невозрастающая.

Замечание №2. Теорема неверна, если вместо отрезков рассматриваются интервалы.

Пример. Дан интервал (0,1). Разделим его пополам и выберем в качестве

второго интервала его левую половину: . Делим интервал снова пополам. И вновь выберем левую половину, т.е. и т.д. Этот процесс деления и выбора интервалов бесконечный. Следовательно, получается бесконечная последовательность вложенных интервалов: … . Интервал (0,1) содержит интервал . Интервал содержит интервал и т.д.

Интервалы последовательности не имеют ни одной общей точки, так как какую бы мы точку на промежутке (0,1) ни взяли, найдется такой номер N, что . А интервалы, начиная с , не содержат точку . Точка 0 является общим левым концом всех интервалов, но “0”не принадлежит им.

Примеры. а)Построить последовательности вложенных отрезков, стягивающихся к точке и .

1) … .

2) … .

б)К какой точке стягивается последовательность вложенных отрезков

; ; ;…; ;…?

Ответ: с=1.

в) Какая последовательность называется вложенной? Стягивающейся?

г) Является ли вложенной последовательность отрезков

; ;…; ;…?

Последовательность вложенных отрезков, но не стягивающаяся, так как стягивается ни к нулю, а к 1 или 2.

д) Является ли вложенной последовательность отрезков

; ; ;…; ;…?

Нет.

е) Отрезок делится пополам. И берется его левая половина. Потом её делят пополам и берут правую половину. Потом эту половину делят пополам и берут левую половину. Найти общую точку получившихся отрезков.