Односторонние пределы

1. Кроме рассмотренного предела функции в точке существует такое понятие как предел в точке слева или предел в точке справа.

Определение №3. Число называется правым пределом (или пределом справа) функции в точке , если для любой, сходящейся к последовательности значений аргумента , все элементы которой больше , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Символически: или или .

Определение №4. Число называется левым пределом (пределом слева) функции в точке , если для любой, сходящейся к , последо- вательности значений аргумента , все элементы которой меньше , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Символически: или или .

Иными словами: Если бы в определении предела функции в точке потребовалось бы , чтобы х стремился к не любым способом, а только слева, оставаясь все время меньше , то получили бы определение предела функции в точке слева.

Аналогично, если существует предел функции в точке при условии, что х стремился к только справа, оставаясь все время больше , то такой предел называется пределом справа [2].

Определение №5. Пределы слева и справа функции в точке называются односторонними в отличие от предела функции в точке, который называется двусторонним.

Теперь рассмотрим равносильные определения односторонних пределов функции в точке слева и справа «на языке ».

Определение №6. Число называется правым пределом функции в точке , если существует такое , что для всех х, удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство [2].

Символически:

Графически:

Рис.3.

Определение №7 («на языке »). Число называется левым пределом (пределом слева) функции в точке , если

.

Символически: .

Графически:

Рис.4.

Пример 5. Функция (сигнум) имеет в точке левый и правый пределы функции в точке (рис. 5).

а)

б)

Рис.5.

Замечание №3. Не пишут , а пишут .

, а пишут [2].

Теорема о связи односторонних пределов функции в точке с пределом функции в точке

Теорема №2. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы функции и они равны. В этом случае предел функции в точке равен односторонним пределам.

Доказательство необходимости

1. Пусть . Нужно доказать, что

2. Согласно определениям предела функции в точке слева и справа, для существуют такие числа , что для всех х, удовлет- воряющих неравенствам выполняется нера- венство .

3. Возьмем наименьшим из , т.е. .

4. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство .

5. В соответствии с определением предела функции в точке по Коши последнее неравенство равносильно записи . Ч.т.д.

Доказательство достаточности

1. Пусть теперь . Нужно доказать, что

= .

2. Так как , то согласно определению предела функции в точ ке, , что для всех х, удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство

3. Неравенство равносильно или его можно записать так: .

4. Т.е. для последних двух неравенств справедливо .

5. Следовательно, справедливы такие равенства согласно определениям односторонних пределов функции в точке слева и справа: = [5]. Ч.т.д.

Замечание №4. Если односторонние пределы различны: или хотя бы один из пределов не существует, то не сущест- вует и предел функции в точке [5].