6. Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Определение. Последовательность, у которой существует предел назы-вается сходящейся.

Иными словами: последовательность {х_п} является сходящейся, если такое число а , что для найдется такой номер , что для всех выполняется неравенство: .

{х_п} – сходится : .

Замечание.

1. Величина п зависит от того, каково , которое выбирается произ-вольно.

2. Чем меньше , тем п будет больше. Исключением является слу-чай, когда последовательность состоит из одинаковых элементов.

3. Если N₁>N и неравенство выполняется при , то неравенство подавно будет выполняться и при [28].

Определение. Последовательность, которая не является сходящей-ся, называется расходящейся.

Замечание.

1. Если и при , то говорят, что последова-тельность {х_п} сходится к числу а слева. И пишут вместо

.

2. Если и при , то говорят, что последова-тельность {х_п} сходится к числу а справа. И пишут вместо .

Примеры, иллюстрирующие различные стремления последователь-ности к своему пределу.

Пример №1. Доказать, что последовательность при стремится к 1.

Пример №2. Доказать, что последовательность при стремится к 0.

Пример №3. Доказать, что последовательность не имеет предела.

Доказательство провести самостоятельно.

7. Бесконечные пределы последовательности

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечно боль-шой, если для любого положительного числа М существует номер N такой, что при п>N выполняется неравенство .

{x_n} – бесконечно большая .

В этом случае пишут .

Причем:

а) Если последовательность {x_n} такова, что для любого числа существует такой номер элемента N , что при всех п>N выполняется неравенство , то пишут .

б) Если последовательность {x_n} такова, что для любого числа существует такой номер элемента N , что при всех п>N выполняется неравенство , то пишут .

Но во всех указанных случаях говорят, что последовательность {x_n} имеет бесконечный предел, равный соответственно: ; ; . Если или , или , то последовательность является бесконечно большой [28].

Замечание.

1. Очевидно, что бесконечно большая последовательность не имеет пре-дела в том смысле, как мы его определяли и обозначали числом а. Использование слова «предел» и обозначение «lim» является лишь тради-ционным.

2. В дальнейшем всегда под словом «предел» последовательности будем понимать конечный предел, т.е. определенное число а.

3. Термин «сходящаяся последовательность» употребляется для после-

довательности, имеющей конечный предел.

8. Окрестность беззначной бесконечности

Придадим определениям конечного и бесконечных пределов последова-тельности единообразную форму с помощью понятия «окрестность».

Определение. Для - окрестностью бесконечности без знака равна: . Иногда обозначают просто , а говорят окрестность бесконечности [29].

На координатной прямой:

Рис.4.

9. Общее определение предела последовательности

Определение. Элемент а, являющийся действительным числом или од-ной из бесконечностей ( ; ; ) называется пределом последовате-льности {х_п}, если какова бы ни была - окрестность элемента а , для нее существует номер N такой, что при п > N справедливо утвержде-ние: .

Определение. Если последовательность {x_n} такова, что все ее эле-менты равны между собой: при , , то она называ-ется стационарной или постоянной [29].