2. Арифметические действия над числовыми последовательностями

Определение. Пусть даны последовательности{x_n}и {y_n}.

1. Произведением последовательности {x_n} на число m назовем после-

довательность : mx₁, mx₂, …, mx_n, … . т{x_n}={тx_n}.

2. Алгебраической cуммой двух последовательностей называется после-довательность: x₁ y₁ , x₂ y₂ ,…, x_n y_n , … . {x_n} {y_n}={x_n y_n}

3. Произведением двух последовательностей назовем последовательность

x₁ y₁ , x₂ y₂ ,…, x_n y_n ,… . {x_n}{y_n}={x_ny_n}

4. Частным двух последовательностей назовем последовательность

,

если все члены последовательности {y_n} отличны от нуля [28].

3. Определение предела числовой последовательности

Определение. Число а называется пределом последовательности {х_п}, если для .

Если последовательность имеет своим пределом число а, то пишут , или при .

В этом случае говорят, что последовательность {х_п}, сходится к числу а.

Символическая запись определения:

: [28].

4. Геометрическая интерпретация предела последовательности

Интерпретация – латинское слово: в переводе означает «истолкование, разъяснение смысла, значения чего-то».

Так как числовую последовательность можно рассматривать как после-довательность точек на прямой, то о пределе последовательности можно го-ворить как о точке на прямой.

Неравенство равносильно неравенству , которое в свою очередь равносильно такому , х_п [28].

А интервал называют ε-окрестностью точки а и обознача-ется U(а, ε).

Тот факт, что число а есть предел последовательности {х_п} геометрии-чески означает, что в любой ε-окрестности точки а находятся все члены пос-ледовательности {х_п}, начиная с некоторого элемента под номером n>N.

А вне ε-окрестности точки а может находиться лишь конечное число членов последовательности

Рис.2.

Если взять , то - окрестность будет также меньше окрестности . Следовательно, в - окрестность или интервал попадут элементы последовательности, начиная с более высо-кого номера.

Рис.3.

Точка, изображающая предел а, является как бы сосредоточением сгуст-ка точек, изображающих значения последовательности [28].

5. Неравенство Бернулли

Якоб Бернулли - швейцарский математик (1654-1705).

Лемма (неравенство). Для любого натурального числа справед-ливо неравенство при : (2)

Доказательство.

1. Доказательство проведем методом математической индукции.

2. При соотношение (2) очевидно: .

3. Предположим, что соотношение (2) справедливо при :

.

4. Докажем это неравенство при .

5. Для этого умножим обе части неравенства на поло-жительное число , так как по условию леммы.

6. Получим .

7. Выполним элементарные преобразования .

8. Сгруппируем 2 и 3 слагаемые правой части неравенства:

9. Сравним два выражения .

10. При и , очевидно, что > на .

11. тем более.

Таким образом, неравенство доказано при . Лемма доказана.

Замечание. Если в неравенстве принять , то при неравенство примет вид: , [27].