Плотность множества рациональных чисел
Свойство плотности: Множество рациональных чисел всюду плотно во множестве действительных чисел.
Если
и
любые рациональные числа и
,
то существует рациональное число
,
удовлетворяющее неравенству:
,
т.е. между числами
и
содержится бесконечное множество
рациональных чисел.
Доказательство:
1. Известно, что
если
и
рациональные числа, то их сумма, разность,
произведение и частное (при делителе,
отличном от нуля) является также
рациональным числами:
ℝ.
2. Тогда, например,
будет также рациональным числом.
3. Если
,
то прибавим к обеим частям неравенства
число
:
.
(2)
4. Если
,
то прибавим к обеим частям неравенства
число
:
.
(3)
5. Сравним неравенства (2) и (3): и .
6. На основании
свойства транзитивности
.
7. Разделим все
части неравенства на 2:
,
получим:
.
8. Но число
– рациональное число
.
ч.т.д.
А между числами и , и таким же образом можно указать еще по рациональному числу и т.д.
Таким образом, между любыми рациональными числами и содержится не одно, а бесконечное множество различных рациональных чисел.
Говорят, что множество рациональных чисел или точек расположено всюду плотно на координатной прямой. Любой участок координатной прямой, каким бы он малым ни был, содержит бесконечное множество рациональных чисел.
Таким образом,
множество рациональных чисел
,
являясь подмножеством действительных
чисел, ℝ,
всюду плотно во множестве действительных
чисел.
1 модуль
Тема №2
Предел последовательности
Лекция №4
1. Определение числовой последовательности.
2. Арифметические действия над числовыми последовательностями.
3. Понятие предела последовательности.
4. Геометрическая интерпретация предела последовательности.
5. Неравенство Бернулли.
6. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
7. Бесконечные пределы последовательности.
8. Окрестность беззначной бесконечности.
9. Общее определение предела последовательности.
10. Единственность предела сходящейся последовательности.
Определение числовой последовательности
Определение. Если каждому числу п из натурального ряда чисел 1, 2, 3, .... п, ... поставлено в соответствие действительное число хn то множество действительных чисел x1, x2, ..., xn (1)
называется числовой последовательностью [27].
Числа x1, x2, ..., xn - называются элементами (членами) последова- тельности (1).
Число xn - общий элемент последовательности.
п – номер элемента последовательности.
Сокращенно последовательность (1) обозначается символом {xn} [27].
Пример. Символ {1/n2} обозначает последовательность {1, 1/4, 1/9,…, 1/n2,…} .
Числовая последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.
Пример. Формула xn=2п+1 задает последовательность: 3;5;7;9;... . Пример. Обращая дробь 1/3 в десятичную и оставляя один, два, три и так далее знака после запятой, получаем последовательность
;
;
;
….
По самому определению, последовательность содержит бесконечное число элементов. Любые два ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами.
Геометрически последовательность изображается на координатной пря-мой в виде последовательности точек. Координаты этих точек равны соответ-ствующим элементам последовательности. На рис.1. изображена последо-вательность {xn}={1/n}:1, 1/2,1/3, 1/4, 1/5,… [27].
Рис.1.