Ограниченные и неограниченные множества

Определение 1. Если для подмножества действительных чисел Е существует такое число , что Е выполняется неравенство , то множество Е называется ограниченным сверху.

Множество Е ℝ ограниченно сверху ℝ) .

Все элементы множества Е лежат левее точки , т.е.

Пример. Множество отрицательных чисел сверху ;ℤ .

Определение 2. Если множество не является ограниченным сверху, то его называют неограниченным сверху множеством.

Пример. ℕ не ограниченно сверху.

Определение 3. Если для любого подмножества действительных чисел

существует такое число , что выполняется неравенство , то множество называется ограниченным снизу.

Множество ℝ ограниченно снизу ℝ) .

Все элементы множества лежат правее точки , т.е.

Пример. Множество натуральных чисел ограниченно снизу 1.

Определение 4. Если множество не является ограниченным снизу, то его называют неограниченным снизу.

Пример. Так множество отрицательных чисел неограниченно снизу.

Определение 5. Множество, ограниченное сверху и снизу называется ограниченным.

Другими словами: подмножество действительных чисел называется ограниченным, если существуют такие числа и , что выполняется неравенство: , .

Пример. Отрезок представляет собой ограниченное множество.

Определение 6. Если множество не является ограниченным, то его называют неограниченным.

Пример. Интервал не является ограниченным.

Верхняя и нижняя грани числовых множеств

Среди всех чисел, ограничивающих сверху и снизу данное множество, наименьшее и наибольшее из них имеют специальные названия.

Определение 1. Наибольшее из всех чисел, ограничивающих снизу подмножество ℝ, называется его нижней гранью: . (inf от латинского слова инфимум – «наименьший», «наинизший»).

Обозначение: или .

Пример. Дано ограниченное снизу множество , , .

Множество ограничивают снизу и такие числа .

Но из них число наибольшее. .

А из элементов множества число самое наименьшее. , . Поэтому в переводе «inf» – наименьший, наинизший.

Определение 2. Наименьшее из всех чисел, ограничивающих сверху множество ℝ, называется его верхней гранью: . (sup – латинского слова супремум – в переводе наибольший, наивысший)

Обозначение: или .

Пример 1. Дано множество , ограниченное сверху. , .

Множество ограничивают сверху и такие числа: 4, 5, 6… Но число наименьшее из всех чисел, ограничивающих сверху множество .

А из элементов множества число – самое наибольшее, наивысшее.

sup =3

Пример 2. Пусть множество действительных чисел есть интервал , т.е. , тогда .

Определение 3. Верхнюю и нижнюю грани множества называют точной верхней и точной нижней гранями (границами) множества.

Замечание. Если множество не ограниченно сверху, то пишут .

Если множество не ограниченно снизу, то пишут .

Свойства точных граней множества

1. Свойство точной верхней грани множества:

Как бы ни было мало число , найдется такое число , что справедливо будет неравенство: .

Если такое число не найдется, то число станет точной верхней гранью множества . А число перестанет быть точной верхней гранью, т.е. наименьшим из всех чисел, ограничивающих сверху множества .

Другими словами свойство точной верхней грани: число является наименьшим среди чисел, ограничивающих сверху множество , и оно не может быть еще уменьшено.

Пример. Пусть множество ограничено сверху и .

Тогда число . Значит, элемент множества число .

А для всех элементов этого множества выполняется неравенство: . Следовательно, число не может быть точной верхней гранью.

2. Свойство точной нижней грани множества.

Как бы ни было мало число , найдется такое число , что будет выполняться неравенство: , т.е. число является наибольшим и не может увеличено еще даже на .

Пример. Пусть множество ограничено снизу и , .

Значит, число .

Тогда элементы , , а для всех элементов множества должно выполняться неравенство .

3. Теорема. Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет точную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет точную нижнюю грань.

Доказательство:

1. Пусть непустое числовое множество, ограниченное сверху.

2. Тогда множество , ограничивающее множество сверху, также будет непустым.

3.Из определения верхней грани следует, что для и имеет место неравенство:

4. В силу свойства непрерывности действительных чисел существует такое число , что для любых и выполняется неравенство: . (1)

5. Из левой части неравенства (1) следует, что число ограничивает множество сверху.

6. Из правой части неравенства (1) следует, что число наименьшее из чисел, ограничивающих множество , следовательно, число является точной верхней гранью: .

ч.т.д.

Замечание. Случай существования точной нижней грани доказывается аналогично.