Расширенная числовая прямая

Множество действительных чисел ℝ дополняются элементами, обозначенными и . Их называют соответственно «+» и «–» бесконечностями.

I. По определению: 1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Замечание. Операции а) ;

б) ; ;

в) ; не определены.

II. Для любого действительного числа имеют место следующие утверждения:

1. .

2. .

III.  имеют место следующие равенства:

1. ;

2. .

IV. Для  имеют место следующие равенства:

1. ;

2. .

Замечание.

1. бесконечности называются иногда бесконечными числами, а действительные числа ℝ) называются конечными.

2. В дальнейшем под словом число будем подразумеваться конечное действительное число.

Определение 1. Множество действительных чисел ℝ дополненное элементами , называется расширенным множеством действительных чисел или р асширенной числовой прямой. Обозначается: ℝ.

Определение 2. Элементы называются иногда бесконечно удаленными точками расширенной числовой прямой.

Промежутки действительных чисел

I. Ограниченный промежутки:

а) отрезки ℝ: , ℝ.

б) интервалы ℝ: , ℝ.

в) полуинтервалы:

1. ℝ: , ℝ.

2. ℝ: , ℝ.

Замечание. В случае отрезок состоит из одной точки.

Определение 1. Интервал называется внутренностью отрезка .

II. Неограниченные промежутки.

а) интервалы:

ℝ: , ℝ.

ℝ: , ℝ.

ℝ.

0

б) полуинтервалы:

ℝ: , ℝ.

ℝ: , ℝ.

Определение 2. Отрезки, интервалы, полуинтервалы называются промежутками, а точки а, – их концами, а ℝ, b ℝ.

Определение 3. Если а и b – конечные числа, то действительное число называется длиной промежутка с концами а и b.

Определение 4. Если хоть одно из чисел а и b является бесконечным, то промежуток называется бесконечным.

Свойство промежутков всех типов расширенной числовой прямой.

Е сли точки ℝ, ℝ, причем , принадлежат некоторому промежутку с концами ℝ, ℝ, то весь отрезок принадлежит этому промежутку.

Примеры:

1. Из отрезка удален интервал . Что осталось?

Ответ: Остались концы промежутка: точка с координатой : и точка с координатой .

Или через множество: .

2. Из отрезка вырезан интервал . Как записать множество оставшихся точек отрезка с помощью промежутков?

Ответ: – отрезки.

3. Из интервала вырезаны два отрезка и . Какие промежутки остались?

Ответ: – остались такие интервалы.

Понятие – окрестности

Определение. Если является действительным числом, то для любого – окрестностью точки называется интервал .

Обозначается – окрестность так: U .

На координатной прямой:

1. Если , то – окрестность точки будет такой U . Графически:

2. Если , то – окрестность точки будет такой U . Графически:

З амечание 1. При определении – окрестности бесконечно удаленных точек можно брать не только положительные , но и любые ℝ. Условие накладывается лишь с целью единообразия определений.

Замечание 2. В общем случае – окрестность точки может быть записано неравенством или , где – множество действительных чисел.

Пример. Дано неравенство . О чем говорит это неравенство?

Множество действительных чисел , удовлетворяющих неравенству есть окрестность точки 5 радиусом 3. здесь , .

1 модуль

Тема №1

Действительные числа и их свойства

Лекция №3

1. Лемма о непересекающихся окрестностях.

2. Ограниченные и неограниченные множества.

3. Верхняя и нижняя грани числовых множеств.

4. Свойства точных граней множества.

5. Плотность множества рациональных чисел во множестве действительных чисел.

Лемма

Л емма – греческое слово (вспомогательное утверждение, необходимое в цепи логических рассуждений для доказательства некоторой теоремы).

Лемма. Пусть ℝ, причем . Тогда существуют , такие, что окрестность точки при пересечении с окрестностью точки дает пустое множество: U U .

Доказательство:

I. 1. Если ℝ, то возьмем при .

2. Получим такие окрестности точек и :

3. Очевидно, что окрестности не пересекаются.

II. 1. Если ℝ, а , то в качестве подходят: , .

2. Получим такие окрестности точек и :

3. Очевидно, что окрестности не пересекаются.

III. 1. Если , ℝ, то в качестве подходят: , .

2. Получим такие окрестности точек и :

3. Очевидно, что окрестности не пересекаются.

IV. 1. Если , , то при произвольном окрестности точки , не пересекаются.

2. Покажем это:

ч.т.д.

З амечание. Если ℝ и , то для двух любых , таких что U , U справедливо неравенство: .

ℝ, U , U : .

Примеры. Определить, какие множества заданы следующими неравенствами.

1. или , т. е. ; .

Ответ: отрезок .

2. .

Ответ: объединение двух полуинтервалов .

3. .

Ответ: интервал .

4.

Ответ: объединение двух интервалов .