4. По определению модуля, если , то и, если , то .
5.
Перемножим почленно два равенства
и
.
6. Сравним правые части равенств пунктов 3 и 5. Так как правые части равны, то должны быть равны и левые части равенств, т.е.
. ч.т.д.
Доказательство II
А)
1. Пусть
2.
Тогда
и по определению модуля
3.
По определения модуля, если
,
то
и, если
то
4.
Разделим почленно два равенства:
и
5.
Получим
6.
Сравним правые части равенств пунктов
2 и 5. Так как правые части равны, то равны
и левые части, т.е.
ч.т.д.
Б)
1. Пусть
2.
Тогда
и по определению модуля
3. По определения модуля, если , то , и, если то
4. Разделим почленно два равенства: и
5.
Получим
6.
Сравним правые части равенств пунктов
2 и 5. Так как правые части равны, то равные
и левые части, т.е.
ч.т.д.
В)
1. Пусть
2.
Тогда
и по определению модуля
3.
По определения модуля, если
то
и если
то
.
4.
Разделим почленно два равенства:
и
5.
Получим
6.
Сравним правые части равенств пунктов
2 и 5. Так как правые части равны, то равны
и левые части, т.е.
ч.т.д.
Г)
1. Пусть
2.
Тогда
и по определению модуля
3.
По определения модуля, если
то
,
и если
,
то
4.
Разделим почленно два равенства
и
5.
Получим
6. Сравним правые части равенств пунктов 2 и 5. Так как правые части равны, то равны и левые части, т.е. ч.т.д.
Геометрическое изображение действительных чисел
Ось. Направленный отрезок. Величина отрезка
Рассмотрим произвольную прямую. На ней можно указать два взаимно противоположных направления. Выберем одно из них и обозначим стрелкой. Кроме того, выберем масштабную единицу измерения длины отрезков.
Определение №1. Прямая с выбранным на ней направлением называется осью.
Рассмотрим
на оси две произвольные точки
и
.
Определение №2. Отрезок с граничными точками и называется направленным, если указано, какая из точки и считается началом, а какая – концом отрезка.
1.
Направленный отрезок с началом в точке
и
концом в точке
обозначается
.
Считается, что он направлен от начала
к концу.
2. В записи буква, обозначающая начало направленного отрезка, пишется первой, а буква, обозначающая конец пишется второй.
3.
Длина
направленного отрезка
обозначается
или
.
4. Для направленных отрезков, лежащих на оси (или параллельных оси), вводится понятие величины направленного отрезка.
Определение
№3.
Величиной направленного отрезка
называется
такое число, равное длине направленного
отрезка
если направления отрез-ка и оси совпадают,
и равное
,
если их направления противоположны.
Обозначается
величина направленного отрезка
:
Для
отрезков
и
,
изображенных на рисунке,
,
.
Замечание.
Величины направленных отрезков
и
при любом направлении оси отличаются
знаками:
5.
Если точки
и
совпадают,
то величину направленного отрезка
считают
равной нулю,
Основное тождество
Для
любых трех точек
,
и
на оси справедливо следующее равенство:
.
Оно называется основным тождеством.
Справедливость основного тождества легко установить по рисунку, рассматривая различные случаи взаимного расположения точек: , и на оси. Если три точки , и различны, то таких случаев шесть. В каждом из этих случаев основное тождество проверяется элементарно.
1. .
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Геометрическое изображение действительных
чисел
Определение №1. Прямая с выбранным направлением, началом координат и масштабной единицей называется координатной прямой.
Пусть точка
–
произвольная точка координатной прямой.
Поставим в соответствие точке действительное число , равное величине направленного отрезка
:
.
Определение
№2.
Действительное число
называется координатой точки
Каждой точке координатной прямой будем соответствовать действительное число – её координата.
Справедливо и обратное утверждение: каждому действительному числу соответствуем некоторая точка , координаты которой равна . Действительные числа можно изображать точками на координатной прямой. Как правило, около точки на координатной прямой указывается число – её координата.
Пусть
точка
имеет координату
,
а точка
имеет
координату
.
Выразим
величины направленного отрезка
через
координаты точек
и
Согласно
основного тождества
Следовательно,
.
Но
величина
.
Данная формула широко применяется в геометрии.