Свойства действительных чисел
Сложение действительных чисел
Для любой пары
действительных чисел
и
определено и, причем, единственным
образом действительное число, называемое
суммой
и обозначаемое
.
Каковы бы ни были
действительные числа
имеют место следующие свойства:
1)
– переместительное свойство (коммутативный
закон сложения).
2)
– сочетательное свойство (ассоциативный
закон сложения).
3) Существует
единственное число 0 такое, что для
любого действительного числа
верно
(
).
4) Для любого
действительного числа
существует число, обозначаемое
и называемое противоположным
данному такое, что верно
.
Умножение действительных чисел
Для любой пары
действительных чисел
и
определено и, причем единственным
образом действительное число, называемое
произведением
и обозначаемое
.
Каковы бы ни были действительные числа имеют место следующие свойства:
1)
– переместительное свойство (коммутативный
закон умножения).
2)
– сочетательное свойство (ассоциативный
закон умножения).
3) Существует
единственное число 1 такое, что для
любого действительного числа
имеет место равенство
.
4) Для любого
действительного числа
существует такое число
,
что верно
.
Причем, действительное
число
обозначают также символом
и называют обратным
данному действительному числу
.
Связь операций сложения и умножения действительных чисел
Для любой тройки
действительных чисел
имеет место свойство:
– распределительное свойство
(дистрибутивный закон умножения
относительно сложения).
Сравнение действительных чисел или упорядоченность
1. Для любого действительного числа определено одно из соотношений:
а)
б)
в)
2. Если
и
,
то
;
.
3. Если
,
то говорят, что число
больше
и пишут
.
4. Для любых двух действительных чисел и установлено одно из соотношений:
а)
;
б) ;
в)
.
5. Отношение
обладает таким свойством: если
и
,
то
.
6. Отношение
обладает таким свойством: а) если
и
,
то
.
б) если
,
то
.
Причем, это
выполняется
.
Замечание1.
Вместо
пишут также
.
2.
Запись
(или
)
означает, что либо
,
либо
(
).
3.
а) Соотношения
,
,
,
называются неравенствами.
б) Соотношения , называются строгими неравенствами.
Непрерывность действительных чисел (принцип Дедекинда)
Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831 – 1916) – немецкий математик, дал обоснование теории действительных чисел.
Пусть
и
– два множества, состоящие из действительных
чисел. Тогда, если для любых чисел
,
выполняется
неравенство
,
то существует хотя бы одно число
,
такое что
выполняется неравенство:
.
Другими словами: множество действительных чисел непрерывно, в нем нет пробелов.
Аксиома Архимеда
Архимед (
287– 212 лет до н. э.) – древнегреческий
ученый.
Каково бы ни было
число
,
которое больше
,
т.е.
.
Перечисленные свойства являются аксиомами действительных чисел.
Дополнительные свойства действительных чисел
Рассмотрим далее
свойства, которые выполняются
.
1.
Число
является решением уравнения
.
Доказательство
1) Прибавим к левой
и правой частям уравнения
число
,
получим
.
2) Используя
переместительное и сочетательное
свойства сложения, перепишем выражение
.
3) На основании 4
свойства сложения действительных чисел
можно написать
.
4) На основании 3
свойства сложения действительных чисел
выражение примет вид
или
.
5) Для существования решения нужно проверить, что число является решением уравнения.
а) Подставим в уравнение число .
б) Получим
или
,
или
.
в) Тогда
или
– решение уравнения
.
ч. т. д.
Замечание.
Число
называется разностью чисел
и
и пишется
.
2.
Число
является решением уравнения
,
если
.
Доказательство
1) Домножим обе
части уравнения
на число
,
получим
,
или
,
или
в соответствии с 1 и 2 свойствами умножения
действительных чисел.
2) В соответствии
с 4 и 3 свойствами умножения действительных
чисел можно записать
или
.
3) Осуществим проверку:
а) Подставим число в уравнение .
б) Получим
,
или
,
или
.
в) Затем
или
– решение уравнения
.
ч. т. д.
Замечание.
Число
называется частным чисел
и
и обозначается
или
,
.
3.
Если
,
то
.
Доказательство
1) Так как
,
то
или
на основании 3 свойства сравнения
действительных чисел.
2) Прибавим к обеим
частям неравенства число
,
получим
.
3) Используя
переместительный, сочетательный законы,
4 и 3 свойства сложения действительных
чисел, можно записать
,
или
,
или
.
ч. т. д.
Замечание.
а) Если
,
то
;
б) Если
,
то
.
4. Если
и
,
то
.
Доказательство
1) Пусть и .
2) Прибавим к обеим
частям первого неравенства число
,
а к обеим частям второго неравенства
число
;
с учетом свойства сравнения 6(б):
и
.
3) С учетом
переместительного свойства сложения:
и
.
4) С учетом свойства
сравнения 6(а):
(
,
то
).
ч. т. д.
5.
Если
и
,
то
.
Доказательство
1) Так как
,
то
(с учетом дополнительного свойства 3)
или
(в соответствии с замечанием №1 свойств
сравнения).
2) Так как , то (в соответствии с замечанием №1 свойств сравнения).
3) Рассмотрим два неравенства и .
4) С учетом
дополнительного свойства 4 можно записать
или
при использовании 3 или 2 свойств сравнения
действительных чисел.
ч. т. д.
6.
.
7. Если
,
то
.
8.
.
9.
Если
и
,
то
.
Доказательство
1) Так как
,
то
с учетом замечания к дополнительному
свойству 3.
2) Известно, что если и , то на основании 2 свойства сравнения действительных чисел.
3) Тогда, если
и
,
то
,
или
,
или
(с учетом замечания (б) дополнительного
свойства 3).
ч. т. д.
10. Если
и
,
то
.
Доказательство
1) Так как
,
то
на основании замечания (б) к дополнительному
свойству 3.
2) В силу дополнительного
свойства 9, если
и
,
то
или
.
ч. т. д.
11.
Если
,
то
.
Доказательство
1) Если
,
то
,
тогда
в силу дополнительного свойства 10 или
.
2) Если
,
то
,
тогда
или
в силу свойства сравнения 2.
ч.т.д.
1 модуль
Тема №1
Действительные числа и их свойства
Лекция №2
1. Модуль действительного числа и его свойства.
2. Геометрическое изображение действительных чисел. Ось, направленный отрезок, величина отрезка.
3. Основное тождество.
4. Расширенная числовая прямая.
5. Промежутки действительных чисел.
6. Понятие - окрестности.
Модуль действительного числа
Понятия абсолютной величины (или модуля) действительных чисел, а также неравенства, связанные с ней будут часто использоваться при доказательстве теорем, лемм и следствий.
Определение.
Абсолютной величиной или модулем
действительного числа
называется само число
,
если
больше или равно нулю и равна
,
если
меньше нуля: т.e.
Свойства модуля действительного числа
Свойство 1. Для любого действительного числа выполняется
неравенство
.
.
1.
Если число
,
то
.
2.
Если
,
то
.
3.
Если
,
то
.
Т.е.
.
ч.т.д.
Свойство
2.
Для любого действительного числа
.
1.
Если
,
то
.
(1)
2.
Так как
,
то
.
3.
Если
,
то
,
но
.
(2)
4.
Сравним (1) и (2): правые части равны, тогда
равные и левые части, т.е.
. ч.т.д.
Свойство
3.
Для любого действительного числа
выполняется следующее неравенство
.
I
1. Если
,
то
. (3)
2.
Если
,
то
.
3.
Если
,
то
.
4.
Если
и
,
то
(по свойству транзитивности)
5.
Так как
,
то в соответствии (3) последнее неравенство
можно переписать, т.е.
или
II
1. Если
,
то
.
(4)
2.
Так как
,
то умножим на 2 левую и правую части
неравенства:
или
или
.
3.
Так как в соответствии с (4)
,
то
III
1. Из I
и II
следует, что
или
. ч.т.д.
Свойство
4.
Пусть
–
положительное число. Тогда неравенство
равносильно
(
– эпсилон; строчная буква греческого
алфавита).
Теорема
1.
Абсолютная величина суммы двух
действительных чисел не больше суммы
абсолютных величин этих чисел, т.е.
.
Доказательство.
1.Пусть
и
– любые действительные числа, т.е.
,
.1.
2.
Согласно третьему свойству модуля из
них справедливы следующие нера-венства:
и
.
3.
Сложим левую часть с левой, правую с
правой, среднюю со средней, т.е. сло-жим
2 неравенства почленно
или
.
4.
По четвертому свойству модулей полученное
неравенство равносильно 
.
ч.т.д.
Замечание.
Модуль разности двух чисел не больше
суммы модулей этих чисел, т.е.
.
Теорема
2.
Абсолютная величина разности двух
действительных чисел, не меньше разности
абсолютных величин:
Доказательство. 1.Для любых действительных чисел и
.
2.
Перенесем y
в правую часть равенства:
.
3.
Найдем модули от обеих частей полученного
неравенства
.
4.
По теореме 1
.
5.
Но
в соответствием с 3 пунктом
или
. ч.т.д.
Свойство
5.
Каковы бы ни были два действительных
числа
и
имеют
место легко проверяемые соотношения:
.
Доказательство I
A)
1. Пусть
.
2.
Тогда
.
3.
По определению модуля
.
4.
По определению модуля, если
,
то
,
и если
,
то
.
5.
Перемножим почленно два равенства
и
.
6. Сравним правые части равенств пунктов 3 и 5. Если правые части
равны,
то равны и левые, т.е.
.
ч.т.д.
Б)
1. Пусть
,
.
2.
Тогда
.
3.
По определению модуля
.
4.
По определению модуля, если
,
то
и если
то
.
5.
Перемножим почленно два равенства
и
:
.
6. Сравним правые части равенств пунктов 3 и 5. Так как правые части равны, то должны быть равны и левые, т.е.
. ч.т.д.
В)
1. Пусть
.
2. Тогда .
3.
По определению модуля
.
4.
По определению модуля, если
,
то
и, если
,
то
.
5.
Перемножим почленно два равенства
и
.
6. Сравним правые части равенств пунктов 3 и 5. Так как правые части равны, то должны быть равны и левые части равенств, т.е.
. ч.т.д.
Г)
1. Пусть
.
2.
Тогда
.
3. По определению модуля .