Применение логических символов в математических предложениях
В формулировках определений, теорем или, короче говоря, в математических предложениях, часто повторяются отдельные слова и целые выражения. Поэтому при их записи полезно использовать экономную логическую символику.
Я покажу Вам лишь несколько самых простых и употребительных логических символов.
1) Символ
(перевернутая латинская буква E)
обозначает слова «существует», «найдется».
От английского слова Existence
– существование.
Пример.
Запись
означает: «Существует число
,
принадлежащее множеству
(из множества
)
такое, что ….».
2) Символ
(перевернутая латинская буква A,
от английского слова Any
– любой) означает слова «любой», «всякий»,
«каждый».
Пример.
а) Запись
означает: «Для любого
из множества
….».
б) Запись
означает: «Для любого
из множества
выполняется утверждение
(или имеет место утверждение
)».
3) Для облегчения понимания и чтения математических утверждений, записанных с помощью логических символов, все, что относится только к каждому из них, заключается в скобки.
Пример.
Запись
читается так: «Для любого
существует такое
,
что для всех
,
не равных
и удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
».
4) Символ
означает «следует» (одно высказывание
следует из другого).
5) Символ
означает равносильность утверждений,
стоящих по обе стороны от этого символа.
6) Значок «def» означает, что сформулированное утверждение справедливо по определению (от английского слова «definition» – определение).
Итак, перейдем теперь к множеству действительных чисел.
Множество действительных чисел
В элементарной математике изучаются действительные числа. Их иногда называют еще вещественными.
Сначала в процессе
счета возникает так называемый натуральный
ряд чисел или множество натуральных
чисел
.
В арифметике вводятся действия сложения
и умножения над натуральными числами.
Операции деления и вычитания не всегда
оказываются возможными во множестве
натуральных чисел (
?;
?; и т. д.).
Для того чтобы все четыре арифметические операции были возможны, кроме операции деления на ноль, приходится расширить запас чисел. Причем, этого расширения запаса чисел требуют и измерения тех или иных физических и геометрических величин.
Поэтому вводятся
число ноль и целые отрицательные числа
вида
– множество целых чисел,
.
А затем вводятся
и рациональные числа вида
,
где
– целые числа
при
– множество рациональных чисел,
.
Та же потребность измерения величин и проведение таких операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел.
Так появляются
иррациональные числа,
и, наконец, комплексные числа,
.
Вспомним из школьного курса математики:
1) Целые
числа –
натуральные числа (
),
числа им противоположные (
)
и число 0, (
).
2) Рациональные числа – целые числа, отрицательные, положительные и дробные числа, ( ).
Причем: всякое рациональное число является либо целым, либо представляется конечной или бесконечной периодической десятичной дробью.
Пример.
Конечная:
;
бесконечная периодическая десятичная
дробь:
.
3) Иррациональные
числа –
числа, которые представляются
непериодической бесконечной десятичной
дробью, например, число
;
.
4) Все рациональные
и все иррациональные числа образуют
множество всех действительных чисел,
(от латинского слова «действительный»
или английского слова Real
– реальный).
А теперь систематизируем сведения о действительных числах, перечислим основные свойства действительных чисел, а затем выведем из них некоторые следствия.