1.4. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями

Теорема: Если – бесконечно большая последовательность и все её элементы отличны от нуля, то последовательность – бесконечно малая. И наоборот: если – бесконечно малая и все её элементы отличны от нуля, , то – бесконечно большая последовательность.

Доказательство: 1.Пусть – бесконечно большая последовательность и , . Требуется доказать, что – бесконечно малая последовательность.

2.Возьмем . _{И примем} .

3.Согласно определению бесконечно большой последовательности

или , или .

4.По свойству модуля частного двух действительных чисел можно записать или , значит, – бесконечно малая последовательность при .

Ч.т.д.

Замечание: Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.