1.2. Бесконечно малые последовательности

Определение №1. Последовательность называется бесконечно малой, если она имеет предел, равный 0, т.е. ^.

Определение №2. Последовательность будет бесконечно малой, если будет выполняться неравенство .

– бмп .

Замечание. Характерным для бесконечно малой последовательности является то, что она своим пределом имеет 0, а не то насколько малые значения она принимает.

Пример. Дана последовательность . Она принимает значения: 100⁸;100⁶;100⁴;100²;1; ; ; ; ;…..Эта последовательность является бесконечно малой, так как , хотя значения отдельных элементов очень велики.

Примеры бесконечно малых последовательностей: ; ; ;

1.3. Свойства бесконечно малых последовательностей

Теорема №1. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство: 1.Пусть последовательности и – бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что – бесконечно малая последовательность.

2.Выберем .

3.Пусть – номер, начиная с которого , а – номер, начиная с которого (в соответствии с определением бесконечно малой последовательности такие номера найдутся).

4.Возьмем наибольшим из и , т.е. .

5.Тогда при будут выполняться одновременно два неравенства:

и .

6.Сложим эти два неравенства или .

7.Воспользуемся свойством модуля суммы и разности двух действительных чисел: и : или – а это условие того, что последовательность является бесконечно малой последовательностью при .

Ч.т.д.

Следствие к теореме №1. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Это утверждение следует из доказательства теоремы №1 на основе метода математической индукции.

Теорема №2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство: 1.Пусть и – бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что – бесконечно малая последовательность.

2.Так как последовательность – бесконечно малая, то по определению бесконечно малой последовательности: : .

3.Так как последовательность – бесконечно малая, то по определению бесконечно малой последовательности: : .

4.Выберем наибольшим из и , т.е. .

5.Тогда при всех будут выполняться одновременно два неравенства: и .

6_{.Перемножим эти два неравенства или в соответствии со свойством модуля произведения двух действительных чисел или,} , т.е. последовательность – бесконечно малая последовательность при .

Ч.т.д.

Следствие к теореме №2. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Данное утверждение следует из доказательства теоремы на основе метода математической индукции.

Теорема №3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство: 1.Пусть – ограниченная последовательность, а

– бесконечно малая последовательность. Требуется доказать, что

– бесконечно малая последовательность.

2.Так как последовательность ограничена, то такое число , что _{для любого элемента последовательности выполняется неравенство:} .

3.Возьмем .

4.Так как последовательность бесконечно малая, то по определению бесконечно малой последовательности , что выполняется неравенство _или .

_{5.Перемножим неравенства п.2 и п.4: или}

6.По свойству модуля произведения двух действительных чисел: или , а это означает, что – бесконечно малая последовательность при .

Ч.т.д.