12. Переход к пределу в неравенствах (Теорема о предельном переходе в неравенствах)

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству ( ), то и пре-дел а этой последовательности удовлетворяет неравенству ( ).

Доказательство.

1. Пусть все элементы сходящейся последовательности , начиная с

некоторого номера, удовлетворяют неравенству . Требуется доказать, что , где а – предел последовательности.

2. Предположим обратное, то есть что а < b.

3. Так как а — предел последовательности , то для ( )

существует такой номер последовательности N, что при n>N выполняется неравенство или .

4. Последнее неравенство равносильно следующему двойному неравен-ству .

5.Рассмотрим правую часть неравенства . А по условию теоремы .

6. Полученное противоречие доказывает теорему [29].

Ч.т.д.

Замечание. Случай доказывается аналогично.

Следствие. Если для двух последовательностей и всегда вы-полняется неравенство , причем каждая из них имеет конечный пре-дел, и , то .

Доказательство.

1. Будем доказывать методом от противного, т.е. пусть при .

2. Возьмем число между а и b в силу непрерывности действительных чисел, т.е. .

3. Рассмотрим левую часть двойного неравенства: . Так как по усло-вию теоремы и , то в силу теоремы о предельном переходе в неравенствах найдется такое , что будет выполняться неравен-ство .

4. Рассмотрим правую часть двойного неравенства: . Так как по ус-ловию теоремы и , то в силу теоремы о предельном переходе в неравенствах найдется такое , что будет выполняться неравен-ство .

5. Если за N обозначить наибольший из номеров и , то есть

, то для будут одновременно выполняться оба нера-венства: и , .

6. А по условию теоремы . Полученное противоречие доказывает

следствие к теореме [28].

Ч.т.д.

13. Теорема о пределе сжатой переменной

Теорема. Пусть даны три последовательности , и , при-чем . Пусть последовательности и имеют один и тот же предел а: . Тогда последовательность так-же имеет предел а: .

Доказательство.

1. Возьмем любое .

2. По этому числу для последовательности найдется такой номер , что : . (3)

3. По этому же числу для последовательности найдется номер , что n>N₂ будет выполняться неравенство:

. (4)

4. Обозначим через N наибольший номер из N₁ и N₂: .

5. Тогда при n>N будут выполняться одновременно два неравенства

и .

6. Подчеркнем левую часть первого неравенства и правую часть второго неравенства.

7. Используя подчеркнутые неравенства, а также неравенства, данные в условии теоремы, получаем при n>N .Отсюда или при n>N. Это означает, что [28].

Ч.т.д.

14.Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости последовательности к числу а

Огюстен Луи Коши – французский математик (1798 - 17857).

До сих пор не было дано достаточно общего критерия, с помощью кото-рого можно было бы узнать, сходится или нет данная последовательность.

Само определение предела последовательности содержит значение пре-дела, которое может быть неизвестным.

Необходимо иметь такой критерий для определения сходимости и рас-ходимости последовательности, который базировался бы только на свойствах элементов данной последовательности.

Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости последова-тельности дает как раз подобный критерий.

Определение. Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такой номер , что для всех номеров удовлетворяющих неравенству и , справедливо неравенство:

. (5)

Определение. Последовательность, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной последовательностью [29].

Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность схо-дилась необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство необходимости.

1. Пусть последовательность сходится, т.е. . Требуется доказать, что эта последовательность удовлетворяет условию Коши.

2. Зададим произвольное ( ).

3. Тогда согласно определению предела последовательности существует такой номер элемента , что выполняется неравенство

.

4. Возьмем еще один номер элемента , тогда должно выполняться неравенство .

5. Сложим два неравенства п.3. и п.4.: .

6. Воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел ( ): или - это неравенство говорит о том, что последовательность удовлетворяет условию Коши [29].

Ч.т.д.

Доказательство достаточности.

1. Пусть последовательность удовлетворяет условию Коши, т.е. : . Надо доказать, что последовательность сходится к числу а.

2. Возьмем .

3. Тогда , что и выполняется неравенство

.

4. В частности, если , а , то будет выполняться неравенство или при .

5. Это означает, что последовательность с номерами: , , , , , … ограничена.

6. Согласно теореме, если последовательность ограничена, то она сходи-тся, т.е. имеет предел, например, а: .

7. Тогда для ( ) при выполняется неравенство:

[29].