Конспект лекций по дисциплине «Математический анализ»
Тема №1
Действительные числа и их свойства
Лекция №1
1. Множества.
2. Множество действительных чисел.
3. Аксиомы множества действительных чисел.
4. Сравнение действительных чисел или упорядоченность.
5. Принцип Дедекинда.
6. Дополнительные свойства действительных чисел.
Множества
В математике первичными понятиями являются понятия множества, элемента множества и принадлежности элемента множеству.
Теория множеств будет Вам подробно прочитана в дисциплине «Алгебра и теория чисел». В дисциплине математического анализа мы лишь фрагментарно коснемся общих понятий теории множеств. Это нам нужно для того, чтобы перейти к вопросу «Множество действительных чисел».
Определение №1. Множеством называется совокупность объектов, которые мы объединяем в одну группу (по произвольному признаку). Причем, с точки зрения теории множеств природа этих объектов несущественна.
Определение №2. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.
Примеры множеств: а) множество студентов в данной аудитории М 28;
б) множество
натуральных чисел
,
т. е. все положительные целые числа
;
в) семейство звезд созвездия Большой Медведицы – тоже множество.
Обозначения. Логические символы
Как правило, множества обозначают большими, а их элементы малыми буквами латинского алфавита.
Если
– элемент множества
,
то пишут
(
принадлежит
).
Пример.
Число 7 принадлежит множеству натуральных
чисел
.
2) Если
не является элементом множества
,
то пишут
или
(
не принадлежит множеству
).
Пример.
Так число
не принадлежит множеству натуральных
чисел,
.
3) Если
–
некоторые элементы, то запись
означает,
что множество
состоит из элементов
.
Пример.
Аналогичный смысл имеет запись
.
4) Пусть
и
– два множества.
Если
и
состоят из одних и тех же элементов, то
говорят, что множества
и
совпадают. А пишут
.
Пример.
;
,
то
,
так как порядок расположения элементов
во множестве не имеет значения.
5) Если во множестве
нет элементов, не принадлежащих множеству
,
то говорят, что множество
содержится во множестве
и пишут
(
содержится в
)
или
(
содержит
).
Тогда множество называют подмножеством множества .
Пример.
Множество натуральных чисел является
подмножеством множества целых чисел,
т.е.
.
6) Если множество
не содержится во множестве
,
то пишут
.
Пример.
Пусть множество
– множество отрицательных чисел, то
.
Оно не содержится во множестве натуральных
чисел.
7) В математике
часто используется пустое множество.
Оно не содержит ни одного элемента и
обозначается
.
Очевидно, что пустое множество является подмножеством любого множества.
Пример.
,
пустое множество является подмножеством
множества натуральных чисел.
8) Если множество
состоит из элементов, обладающих
определенным свойством, то пишут
или
.
Здесь в фигурных скобках после двоеточия
или вертикальной черты записывается
указанное свойство элементов множества
.
Пример.
Пусть
и
– два действительных числа, причем
.
И пусть через отрезок
обозначено множество всех действительных
чисел
,
удовлетворяющих неравенству
.
Тогда определение этого множества,
обозначенного отрезком
,
посредством указанных символов можно
записать следующим образом:
.
9) Пусть заданы
два множества
и
:
;
а) Тогда с помощью
символа
обозначается множество, называемое
объединением
(или суммой)
множеств
и
.
Каждый элемент этого множества принадлежит
хотя бы одному из множеств
и
,
либо им обоим. Графически объединение
множеств
и
представлено на рисунке:
б) С помощью символа
обозначается множество, называемое
пересечением
множеств
и
.
Множество
состоит из элементов, принадлежащих
одновременно множеству
и множеству
.
Графически пересечение множеств
представлено на рисунке:
в) С помощью символа \ обозначается множество, называемое разностью множеств и . Данное множество состоит из элементов, которые принадлежат множеству , но не принадлежат множеству . Графически разность множеств и показано на рисунке:
г) Если множество
(содержится во множестве
),
то разность множеств
\
называется дополнением
множества
до множества
.
Графически это выглядит так:
,
то
Разность \ показана штриховкой. В этом случае говорят, что разность множеств \ получается вычитанием из множества множества .
Пример. Пусть – множество студентов I курса факультета математики и информатики. – множество девушек I курса факультета математики и информатики. Тогда разность \ – есть множество юношей I курса факультета математики и информатики.
10) Если
– произвольные числа, то запись
max
(или
min
)
означает, что число
– максимальное (минимальное) из чисел
.