2. Микрочастица в прямоугольной потенциальной яме

Рис.5.17

Наиболее просто уравнение Шредингера решается в том случае, когда частица находится в прямоугольной потенциальной яме ширины а с бесконечными стенками (рис.5.17). Так как внутри ямы , то в одномерном случае уравнение (4.35) принимает вид

, где , (5.23)

и имеет решение

. (5.24)

Вылететь из ямы частица не может, и плотность вероятности ее обнаружения вне ямы и на стенках ямы равна нулю. Это дает граничные условия для функции (5.24):

Энергия микрочастицы с массой m, находящейся в потенциальной яме ширины а на рис.5.17, может принимать только отдельные разрешенные значения

. (5.25)

Каждому значению энергии соответствует своя волновая функция, описывающая состояние частицы:

.

Неизвестную постоянную А можно найти из условия нормировки (4.4):

Эта постоянная будет одинаковой для всех функций:

(5.26)

Плотность вероятности обнаружения частицы в разных точках потенциальной ямы в состояниях с разной энергией изображена на рис.5.18. Если классическая частица в подобной яме движется с постоянной скоростью, и вероятность ее обнаружения во всех точках одинакова, то для микрочастицы это не так. В некоторых точках вероятность обнаружить микрочастицу максимальна, а в некоторых (например, вблизи стенок потенциальной ямы) – равна нулю (рис.5.18).

Рис.5.18

3. Квантовый гармонический осциллятор

Рис.5.22

Примером такой системы будет ион кристаллической решетки твердого тела, совершающий тепловые колебания (рис.5.22). Но свойствами гармонического осциллятора обладает также любая микрочастица, совершающая малые колебания возле положения равновесия в потенциальной яме произвольной формы (рис.5.23).

Рис.5.23

Действительно, совместим начало координат с точкой минимума потенциальной кривой (потенциальную энергию можно изменить на постоянную величину, чтобы выполнялось условие ). Разложим произвольную функцию в ряд Тэйлора вблизи точки :

.

Из условия минимума . Ограничиваясь для малых колебаний первым неисчезающим слагаемым и обозначая , получаем потенциальную энергию гармонического осциллятора с частотой :

. (5.32)

Разрешенные значения энергии одномерного квантового гармонического осциллятора

(5.39)

эквидистантны (рис.5.24), т.е. находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Поэтому при переходе из одного разрешенного состояния в другое осциллятор может испускать энергию только отдельными квантами-фотонами с энергией . Наименьшая энергия испускаемых фотонов равна , где – собственная частота колебаний осциллятора.

Тем самым мы объяснили гипотезу Планка – фотоны теплового излучения с кратными частотами могут испускаться колеблющимися ионами кристаллической решетки. Но полученный результат (5.39) позволяет сделать еще один вывод.

Частицы классического газа при температуре К должны находиться в покое. Квантовая теория это запрещает – нельзя одновременно получить и координату покоящейся частицы и ее определенный (нулевой) импульс. Поэтому все процессы при низких температурах описываются не классической, а квантовой теорией. Если охладить металл до К, колебания атомов в нем не прекратятся. Одномерный осциллятор будет при этом иметь минимальную энергию (рис.5.24) и уменьшить эту энергию не может.