3. Расчёт оптимального значения радиуса границы раздела двух диэлектриков, при котором максимальные величины напряжённости в обоих слоях одинаковы.
Видно, что при изменении R12 меняться будет только максимум напряжённости во внешнем слое диэлектрика. Чтобы этот максимум был равен максимуму внутреннего слоя, нужно сдвигать границу раздела к центру конденсатора, т.е. уменьшать R12:
Значит, необходимо, чтобы
В таком случае максимальные напряжённости электрического поля в обоих слоях диэлектрика будут равны, и зависимость напряжённости от координат будет иметь следующий вид:
4.2.2. Расчёт плоскопараллельного электростатического поля между линейным заряженным проводом и проводящим экраном.
1. Построение картины плоскопараллельного электростатического поля.
Провода
несимметричной трёхфазной системы
расположены в однородной среде с
диэлектрической проницаемостью
вблизи проводящего экрана. Провод имеет
линейный заряд
.
Построим картину плоскопараллельного
электростатического поля. Радиусом
провода можно пренебречь. Число линий
равного потенциала, включая границу
,
число трубок потока вектора напряжённости
.
Этап 1.
Отображение
заданной области
на верхнюю полуплоскость
.
Известно, что это отображение реализуется
преобразованием
Где
— координаты точки τ,
Тогда:
Таким образом, координаты нити в области равны:
Отобразим
полуплоскость
на новую ωН-полуплоскость
,
в которой заряженная нить перейдёт на
ось ординат при единичном расстоянии
от границы. Это линейное преобразование
можно представить в виде:
Этап 2.
Построение
комплексного потенциала поля в
-полуплоскости
и в исходной области
.
Искомый комплексный потенциал W
в области Dwн
нетрудно найти, воспользовавшись методом
зеркальных изображений и известной
формулой комплексного потенциала
уединенный заряженной нити. Используя
принцип наложения, можно получить
следующее выражение:
где
– число, сопряженное
Тогда:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
∞ |
∞ |
∞ |
2 |
0 |
1 |
0.111i |
2.98i |
-1.961+5.45i |
7.289+5.395i |
3 |
0 |
2 |
0.222i |
1.658i |
-1.961+3.032i |
5.883+5.049i |
4 |
0 |
3 |
0.333i |
1.281i |
-1.961+2.343i |
5.374+4.979i |
5 |
0 |
4 |
0.444i |
1.131i |
-1.961+2.068i |
5.152+4.96i |
6 |
1 |
0 |
0.111 |
-2.747 |
-6.986 |
4.809+8.329i |
7 |
1 |
1 |
0.111+0.111i |
-1.318+1.551i |
-4.371+2.836i |
5.743+6.57i |
8 |
1 |
2 |
0.111+0.222i |
-0.467+1.376i |
-2.814+2.517i |
5.475+5.616i |
9 |
1 |
3 |
0.111+0.333i |
-0.192+1.192i |
-2.311+2.179i |
5.23+5.246i |
10 |
1 |
4 |
0.111+0.444i |
-0.087+1.095i |
-2.119+2.002i |
5.092+5.088i |
11 |
2 |
0 |
0.222 |
-1.192 |
-4.14 |
4.026+6.974i |
12 |
2 |
1 |
0.222+0.111i |
-0.912+0.7i |
-3.628+1.28i |
4.698+6.305i |
13 |
2 |
2 |
0.222+0.222i |
-0.5+0.963i |
-2.875+1.76i |
4.93+5.695i |
14 |
2 |
3 |
0.222+0.333i |
-0.249+1.013i |
-2.417+1.852i |
4.971+5.332i |
15 |
2 |
4 |
0.222+0.444i |
-0.123+1.014i |
-2.185+1.854i |
4.969+5.142i |
16 |
3 |
0 |
0.333 |
-0.577 |
-3.017 |
3.606+6.246i |
17 |
3 |
1 |
0.333+0.111i |
-0.494+0.431i |
-2.864+0.789i |
4.165+5.854i |
18 |
3 |
2 |
0.333+0.222i |
-0.328+0.717i |
-2.56+1.312i |
4.537+5.496i |
19 |
3 |
3 |
0.333+0.333i |
-0.187+0.865i |
-2.303+1.582i |
4.741+5.25i |
20 |
3 |
4 |
0.333+0.444i |
-0.1+0.935i |
-2.143+1.711i |
4.846+5.107i |
21 |
4 |
0 |
0.444 |
-0.176 |
-2.283 |
3.261+5.649i |
22 |
4 |
1 |
0.444+0.111i |
-0.156+0.345i |
-2.246+0.631i |
3.852+5.352i |
23 |
4 |
2 |
0.444+0.222i |
-0.111+0.615i |
-2.164+1.125i |
4.314+5.167i |
24 |
4 |
3 |
0.444+0.333i |
-0.068+0.79i |
-2.084+1.445i |
4.607+5.064i |
25 |
4 |
4 |
0.444+0.444i |
-0.037+0.89i |
-2.029+1.628i |
4.772+5.008i |
26 |
5 |
0 |
0.556 |
0.176 |
-1.638 |
2.864+4.96i |
27 |
5 |
1 |
0.556+0.111i |
0.156+0.345i |
-1.676+0.631i |
3.699+4.725i |
28 |
5 |
2 |
0.556+0.222i |
0.111+0.615i |
-1.758+1.125i |
4.275+4.759i |
29 |
5 |
3 |
0.556+0.333i |
0.068+0.79i |
-1.837+1.445i |
4.6+4.831i |
30 |
5 |
4 |
0.556+0.444i |
0.037+0.89i |
-1.892+1.628i |
4.772+4.884i |
31 |
6 |
0 |
0.667 |
0.577 |
-0.905 |
2.484+3.135i |
32 |
6 |
1 |
0.667+0.111i |
0.494+0.431i |
-1.058+0.789i |
3.896+3.894i |
33 |
6 |
2 |
0.667+0.222i |
0.328+0.717i |
-1.362+1.312i |
4.487+4.338i |
34 |
6 |
3 |
0.667+0.333i |
0.187+0.865i |
-1.618+1.582i |
4.741+4.624i |
35 |
6 |
4 |
0.667+0.444i |
0.1+0.935i |
-1.779+1.711i |
4.852+4.782i |
36 |
7 |
0 |
0.778 |
1.192 |
0.219 |
3.602-1.74i |
37 |
7 |
1 |
0.778+0.111i |
0.912+0.7i |
-0.293+1.28i |
4.784+3.158i |
38 |
7 |
2 |
0.778+0.222i |
0.5+0.963i |
-1.047+1.76i |
5.001+4.098i |
39 |
7 |
3 |
0.778+0.333i |
0.249+1.013i |
-1.505+1.852i |
5.005+4.544i |
40 |
7 |
4 |
0.778+0.444i |
0.123+1.014i |
-1.736+1.854i |
4.984+4.753i |
41 |
8 |
0 |
0.889 |
2.747 |
3.064 |
2.206 |
42 |
8 |
1 |
0.889+0.111i |
1.318+1.551i |
0.45+2.836i |
1.969-1.01i |
43 |
8 |
2 |
0.889+0.222i |
0.467+1.376i |
-1.108+2.517i |
5.645+4.329i |
44 |
8 |
3 |
0.889+0.333i |
0.192+1.192i |
-1.61+2.179i |
5.278+4.678i |
45 |
8 |
4 |
0.889+0.444i |
0.087+1.095i |
-1.802+2.002i |
5.108+4.823i |
Этап 3.
Определение напряженности и распределения заряда на поверхности проводящего экрана. В плоскости комплексного переменного напряженность поля (E=Ex+jEy) в произвольной точке области Dz вычилсяется по формуле
Модуль напряженности равен
Данное выражение удобно использовать для вычисления напряженности у поверхности экрана, т.к. в этом случае напряженность совпадает по направлению с нормалью к поверхности проводника. Плотность заряда индуктированного на проводящей поверхности экрана равна
здесь производная вычисляется для точек на поверхности экрана.
