1.8 Методи факторизації перемикальних функцій

Розглянемо питання про факторний алгоритм знахождення форми, близької до абсолютно мінімальної.

Вiдзначимо, що представленi ранiше методи мінімізації обмежувалися вирішенням канонічної задачі мінімізації перемикальних функцiй, тобто задачі знаходження МДНФ заданої перемикальної функцiї.

МДНФ не у всіх випадках дає найпростiший вираз для перемикальної функцiї в булевiй алгебрi, тобто припускає подальше скорочення.

Наприклад, з наслідку методу Блейка випливає, що перемикальна функцiя = xy  xz є МДНФ, представленою за допомогою трьох операцій: Якщо винести х за дужки, то знайдемо для вказаної перемикальної функцiї вираз, в якому використовуються лише дві операції: = х (y  z). Остання форма не є ДНФ, але її реалізація приводить до простішої комбінаційної схеми, а пошук подібних форм являє собою велику практичну цінність.

Найбільш цікавою задачею є пошук абсолютно мінімальної форми перемикальної функцiї, що містить у собі мінімальне число операцій заданої функціонально повної системи. Для загального випадку, проблему пошуку абсолютно мінімальної форми не вирішено, а найпростiшим алгоритмом її вирiшення є застосування методу перебору всіх варіантів розв`язування задачі пошуку абсолютно мінімальної форми перемикальної функцiї.

Більше того, абсолютно мінімальну форму не завжди можна отримати із мднф, якщо використовувати лише звичайні прийоми винесення спільних множників за дужки.

Реальною та практично досяжною задачею, що отримала назву проблеми факторизації, є пошук форми, близької до абсолютно мінімальної.

У загальному випадку, проблему факторизації також не вирішено, але для булевого базису в ряді випадків, використовуючи операції винесення за дужки спільних множників, можна отримати форму, простішу за МДНФ даної перемикальної функцiї.

Процес факторизації може бути описаний за допомогою спеціального алгоритму, який отримав назву факторного алгоритму.

Розглянемо роботу факторного алгоритму на прикладі. Нехай мднф перемикальної функцiї f має вигляд

Етап 1. Позначаємо кожну елементарну кон’юнкцію заданого виразу лiтерами A, B, C i D, відповідно, та знаходимо всі попарні перетини елементарних кон’юнкцій: , , A ∩ D, ,…. ,

Етап 2. Обираємо ту пару елементарних кон’юнкцій, перетин яких дає елементарну кон’юнкцію найбільшої довжини. У даному прикладі, можна вибрати одну з наступних пар: {A, C}, {A, D}, {B, D}, {C, D}. Для визначеності, вибираємо пару {C, D}.

Етап 3. Записуємо перемикальну функцiю аналітично, виносячи спільний множник за дужки відносно пари {C, D}. У пiдсумку, отримаємо наступний вираз: .

Етап 4. Позначаємо через А₁, В₁, С₁ диз’юнктивні члени виразу ₁ і знаходимо всі їхні перетини: ,….. ,…..

Етап 5. Знову вибираємо ту пару елементів, перетин яких дає елемен-тарну кон’юнкцію найбільшої довжини (для визначеності, пару {A₁, C₁}).

Етап 6. Записуємо перемикальну функцiю ₂ аналітично, виносячи спільний елемент за дужки відносно пари {A₁, C₁}:

.

Етап 7. Позначаємо через А₂ і В₂ диз’юнктивні члени перемикальної функцiї і знаходимо їх перетин: .

Етап 8. Виходячи з отриманих на попереднiх етапах результатiв, остаточно маємо наступне: