9.4 Вопросы и задания к теме «Понятие вероятности случайного события»
Вопросы
1. Что такое статистическая устойчивость случайного события?
2. Как соотносятся относительная частота случайного события и его классическая вероятность?
3. Всякое ли случайное событие имеет вероятность?
4. Какова вероятность того, что сумма очков выпадет больше трёх при двух бросаниях кубика?
5. Можно или нет вычислить вероятность дождя на новый год?
Задания
1.Приведите примеры случайных событий, не обладающих статистической устойчивостью.
2. Приведите примеры случайных событий обладающих статистической устойчивостью.
3. Вычислите количество равновозможных элементарных исходов при десяти бросаниях кубика.
4. Вычислите вероятность того, что при трёх бросаниях кубика выпадет в сумме:
-более четырёх очков;
-менее семнадцати очков.
Моделирование случайных событий случайными величинами.
10.1 Понятие случайной величины.
Случайным событиям, которые могут реализоваться при некотором испытании, по условию задачи могут быть присвоены числовые значения. Тогда можно говорить о случайных числовых величинах. Например, грани кубика можно пронумеровать числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, тогда можно говорить о реализации этих чисел с вероятностями 1/6. В этом случае полную группу элементарных равновозможных исходов составляют указанные равновозможные случайные величины.
Пусть
случайные величины
…,
,
образуют конечное множество из n
элементов, или пусть множество случайных
величин
,
… нумеруется натуральным рядом
1,2,…, n, …, (в последнем случае
последовательность
…,
…,
называют счётной), тогда эти случайные
величины называют дискретной случайной
величиной.
Если
дискретные случайные величины образуют
полную группу элементарных событий, не
обязательно равновозможных, то сумма
их вероятностей
должна
равняться единице:
=
1,
=
1
Множество случайных величин может быть не только дискретным, то есть конечным или счётным. Например, если случайное событие состоит в том, что выбирается наугад порция отрезка или квадрата, то в качестве случайных событий выступают геометрические объекты, а их мерой являются геометрические меры: длина, площадь, объём. Случайные величины - точки, заполняющие геометрические объекты, называют непрерывными случайными величинами.
10.2 Геометрические вероятности.
Рассмотрим две следующие задачи, иллюстрирующие суть непрерывных случайных величин.
1. Игра « Мексиканский ковёр».
Хозяин ковра разлинованного на мелкие квадраты, каждый из которых несколько крупнее монеты, предлагает вам бросить на ковёр наугад монету. Когда монета пересекает контур квадрата, тогда хозяин ковра забирает монету себе, если монета не пересекает контур квадрата, а оказывается внутри квадрата, то хозяин отдаёт вам равнозначную монету. Какова вероятность выиграть или проиграть в этой игре?
Решение задачи. Можно считать, что все квадраты равноправны, поэтому можно ограничиться рассмотрением исходов испытаний в одном квадрате. Каждый исход однозначно определяется положением центра круглой монеты внутри квадрата. Поэтому множество всех исходов есть множество точек квадрата со стороной длины «а». Рассмотрим ситуацию изображённую справа на рисунке 10.1, когда монета касается контура квадрата.
Рис. 10.1.
Выигрышу
соответствуют исходы, когда центр монеты
попадает во внутренний квадрат со
стороной длины (а – 2r), где r – радиус
монеты. Проигрышу соответствуют исходы,
когда центр монеты находится за пределами
внутреннего квадрата. Таким образом,
множество случайных событий в данной
задаче есть непрерывная случайная
величина – точки квадрата со стороной
«а». В качестве меры таких исходов
естественно выбрать геометрическую
меру плоских фигур - площадь. Полная
группа элементарных равновозможных
случайных исходов в этой задаче состоит
из точек внешнего квадрата. Мерой всех
этих исходов является площадь квадрата
=
.
Благоприятные исходы измеряются
площадью внутреннего квадрата
=
=
.
Вероятностью выигрыша P
(B)
естественно считать отношение меры
благоприятных исходов к мере всех
исходов
P(B)
=
=
В этой формуле всегда должно выполняться условие 2r a – диаметр монеты меньше стороны квадрата, иначе всегда проигрыш. Для того, чтобы шансов на выигрыш было больше, чем 50%, должно выполняться условие
Несложно вычислить, это соответствует следующему соотношению радиуса монеты и стороны квадрата: r 0,15a.