Следствие.

Из формулы (3.6) находим представление длины вектора через скалярное произведение

, (3.8)

Если в качестве базиса выбрать векторы , то используя свойства 1-3 скалярного произведения, получаем координатное представление скалярного произведения:

,

(3.9)

Мы воспользовались тем, что , .

Следствие.

Используя (3.8) и (3.9), заключаем, что длина трёхмерного вектора вычисляется по правилу

(3.10)

А из формул (3.6), (3.9) и (3.10) находим формулу для вычисления углов между векторами

= (3.11)

Вывод 4.

Вычисление длин и углов для векторов трёхмерного векторного пространства осуществляется при помощи скалярного произведения векторов. Структура скалярного произведения в трёхмерном случае определяется тремя свойствами (3.7), которые мы примем в качестве аксиом задания скалярного произведения. .

Для определения длинны вектора в при воспользуемся связью между длинной вектора и скалярным произведением в трёхмерном пространстве направленных отрезков. При этом скалярное произведение зададим аксиоматически теми же свойствами, которыми оно определяется в трехмерном векторном пространстве.

Схему, по которой мы из определения скалярного произведения (3.6) получили формулу длины вектора (3.10), повторим в абстрактном векторном пространстве с той разницей, что во первых, скалярное произведение векторов зададим при помощи трех аксиом (3.7) и во вторых, существование скалярного произведения в координатной модели установим формулой, аналогичной (3.9):

(3.12)

где , в .

Теперь, согласно нашей схеме, длина вектора определена формулой (3.8). Из (3.8) с учетом (3.12) получаем формулу длинны вектора в -мерном арифметическом пространстве аналогичную (3.10) в виде

. (3.13)

Формула для вычисления косинуса угла получаем в виде

= (3.14)

Определение n – мерного евклидова векторного пространства.

Абстрактное -мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее трем аксиомам (3.7) называем -мерным евклидовым векторным пространством. Его координатная модель со скалярным произведением (3.12) называется декартовой моделью.

Рене Декарт (1596-1650) впервые построил координатную модель трехмерного евклидова пространства.

В качестве примера применения языка многомерного векторного пространства с обобщённым понятием длины покажем, как можно оценить « близость» двух почти одинаковых изображений на пиксельном экране. Такие изображения моделируются векторным пространством матриц в примере 3. Это векторное пространство имеет размерность N = n m. Пусть матрица А первого изображения имеет пиксельные координаты , а матрица В второго изображения имеет пиксельные координаты , где индексы i = 1, 2, …, n, j = 1, …, m, обозначают в матрицах А и В номер строки, и номер столбца, соответственно. Если в этом векторном пространстве задать структуру скалярного произведения со скалярным произведением, которое задаётся формулой

(А, В) = ∙ + ∙ + ∙ + … + ∙ + … +

∙ + ∙ + … + ∙ ,

то квадрат длины вектора С = А – В оценит близость изображений А и В. Согласно формуле длины вектора (3.13), длина вектора С будет равна сумме квадратов разности одноимённых координат матрицы С:

= ( + + … + =

Если число стоящее в правой части этого равенства будет достаточно мало, то вектор С будет достаточно мал, а векторы А и В достаточно близки. Следовательно, достаточно «близкими» будут и пиксельные изображения, представляемые матрицами А и В.