- •Глава I 11
- •§1. Формирование числовых систем 11
- •§2. Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии. 27
- •Вводная глава.
- •Назначение знаковых языковых систем
- •1. Язык как инструмент интеллекта
- •2. Функциональные свойства языковых систем
- •Пример 2
- •Пример 5. Система знаков представляющих музыкальные звуки называется нотами и формирует язык музыки.
- •4. Основные языковые понятия
- •3. Определение и примеры языковых систем
- •Рассмотрим некоторые примеры языковых систем. Пример 1
- •5. Предметное назначение языковых систем
- •6. Цели краткого курса математики для гуманитариев
- •7. Вопросы и задания к теме «Назначение знаковых языковых систем»
- •Построение множества рациональных чисел.
- •Вывод 1.
- •Замечание 1.
- •Аксиомы операции умножения.
- •Задача 2.
- •Вывод 2.
- •Аксиоматическое построение множества действительных чисел.
- •Аксиома непрерывности Кантора.
- •Определение 2.
- •О представлении действительных чисел.
- •Задача 3.
- •Языковые свойствах числовых систем.
- •3. Десятичная (и вообще, любая k-ичная) знаковая реализация действительных чисел изоморфна геометрической реализации действительных чисел в виде отрезков прямой.
- •Вопросы и задания к теме «числовые системы».
- •§2. Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- •2.1. О “Началах” Евклида.
- •2.1.1. Структура «Начал» Евклида
- •2.1.2 Историческое значение «Начал» Евклида
- •2.1.3 Историческое развитие дедуктивной схемы «Начал» Евклида
- •2.2 Аксиоматика д. Гильберта(1862-1943)
- •2.2.1 Группа 1. Аксиомы соединения.
- •2.2.3 Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- •Вывод 2.
- •2.2.4 Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- •Замечание 2.
- •Замечание 3.
- •Вывод 3.
- •2.2.5 Группа 5. Аксиома параллельности (евклидовой геометрии).
- •Замечание 4.
- •2.3 Два недостатка аксиоматики д. Гильберта.
- •2.4 Структурный характер аксиоматики д.Гильберта
- •2.5. Вопросы и задания к теме «Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии».
- •§3. Структура векторного пространства.
- •3.1 Модель направленных отрезков.
- •Сложение обладает свойствами:
- •Свойства операции умножения:
- •Определение.
- •3.2 Построение арифметической модели векторного пространства направленных отрезков
- •Теорема размерности.
- •Вывод 1.
- •Вывод 3.
- •Вывод 4.
- •3.3 Определение и примеры абстрактного векторного пространства.
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •Определение абстрактного векторного пространства.
- •Следствие.
- •3.4 Аксиомы скалярного произведения векторов.
- •Следствие.
- •Следствие.
- •Определение n – мерного евклидова векторного пространства.
- •3.5 Вопросы и задания к теме «Структура векторного пространства»
- •§4 Модель Вейля евклидовой геометрии.
- •4.1 Арифметическая модель трехмерного евклидова пространства.
- •Определение.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •4.2 Арифметическая модель многомерного евклидова пространства
- •Вывод 3.
- •Замечание о схеме г.Вейля.
- •4.3. Вопросы и задания к теме «Модель Вейля евклидовой геометрии»
- •§ 5. Модель а. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- •5.1 Основные понятие модели а. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- •V’. Аксиома параллельности Лобачевского.
- •Определение плоскости Лобачевского.
- •С ледствие 2.
- •2. Взаимное расположение прямых в плоскости l2.
- •3. Перпендикуляр к стороне угла.
- •5. Четвертый признак конгруэнтности треугольников.
- •Вывод 2.
- •5.3 Научная значимость открытия геометрии Лобачевского.
- •Вывод 3.
- •5.4 Вопросы и задания к теме «Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского»
- •Следствие 2. Задание отношения эквивалентности на некотором множестве равносильно разбиению этого множеств на непересекающиеся подмножества.
- •6.2 Понятие математической структуры.
- •Замечание 1.
- •6.4 Формальная и содержательная аксиоматики, аксиоматические теории и математические структуры.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Определение.
- •6.5 Изоморфизм.
- •Пример 1.
- •Определение изоморфизма.
- •6.6 Вопросы и задания к теме «Математические структуры и аксиоматические теории».
- •§7 Требования, предъявляемые к системам аксиом.
- •7.1 Непротиворечивость системы аксиом.
- •Вывод 1.
- •7.2 Независимость аксиоматической системы.
- •7.3 Независимость аксиомы параллельности.
- •Замечание 1.
- •7.4 Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.
- •Определение (дедуктивной полноты).
- •Определение (категоричности).
- •7.5 Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- •7.6 Вопросы и задания к теме «Требования, предъявляемые к системе аксиом»
- •§8 Смысловой анализ текстовых продуктов.
- •8.1 Понятие смыслового анализа текстового продукта.
- •8.2 Языковые свойства имен объектов.
- •8.4 Понятие искусственного языка.
- •8.5 Понятие и анализ парадоксов.
- •8.6 “Ахиллес и черепаха”.
- •8.7 Парадокс пустого множества.
- •8.8 Парадокс конечной достижимости в очереди.
- •8.9 Противоречивость в дедуктивных схемах
- •Пример .
- •8.10 Вопросы и задания к теме «Смысловой анализ текстовых продуктов»
- •9.2 Относительная частота и вероятность случайного события.
- •9.3 Классическое определение вероятности.
- •9.4 Вопросы и задания к теме «Понятие вероятности случайного события»
- •Моделирование случайных событий случайными величинами.
- •10.1 Понятие случайной величины.
- •10.2 Геометрические вероятности.
- •1. Игра « Мексиканский ковёр».
- •2. Задача о встрече.
- •10.3 Парадокс Бертрана.
- •10.4 Условия корректного моделирования случайного события
- •10.5 Вопросы и задания к теме «Моделирование случайных событий случайными величинами»
- •Заключение
- •Обозначения.
- •Литература
Вводная глава.
Назначение знаковых языковых систем
1. Язык как инструмент интеллекта
Развитие информационных систем и компьютерных технологий расширили горизонты интеллектуальных возможностей человека. Целью расширения таких возможностей является моделирование функций человеческого интеллекта и, в конечном счёте, автоматизации ряда процессов интеллектуальной деятельности. Что же это такое человеческий интеллект? Согласно энциклопедической информации принято считать, что интеллект – это способность человека реализовать процесс и продукт мыслительной деятельности. В процессе такой деятельности происходит отражение отношения объектов различной природы в виде мыслительных образов. Эти образы составляют субъективный информационный мир личности, а обмен информацией между людьми осуществляется посредством различных языковых систем. Знаковые или символьные языковые системы позволяют каждому индивидууму реализовать мысленную систему образов в виде языковых единиц – слов и их структурных образований – текстов.
Таким образом, мы приходим к пониманию того, что инструментом человеческого интеллекта являются языковые системы.
2. Функциональные свойства языковых систем
Какую знаковую систему мы можем считать языком?
Впервые определение языка через его функции дал великий математик Леонард Эйлер (1707 – 1763). Он писал: “Язык нужен людям, чтобы они могли следить за своими мыслями и развивать их, а также общаться друг с другом”, [1, с.282]. В связи с этим положением, выдвинутым Л.Эйлером, можно постулировать, что язык как знаковая система проявляется в следующих трёх функциях.
Три основополагающие функции языка, это:
отслеживание мысли (опорная функция);
формирование умозаключений (логическая функция);
средство общения (коммуникационная функция).
Множество человеческих языков как инструментов интеллекта многообразно, это языки музыки, живописи, национальной литературы, языки различных наук, в том числе и математических.
Какую же роль играет каждый язык среди множества языков – инструментов человеческого интеллекта?
Чтобы ответить на этот вопрос, вначале попробуем разобраться в том, как обрабатывает человеческий интеллект поступающую информацию об окружающем его мире. Начальную роль здесь играет взаимодействие опорной и логической языковых функций. Это взаимодействие языковых функций впервые систематически исследовал известный логик конца XIX века Готлоб Фреге (1848 – 1925). Вот его слова: “Нам удаётся управлять нашим вниманием и направлять мысль в желательное для нас русло благодаря знакам. Когда мы воспроизводим знак, то мы тем самым создаём определённую опору нашей мысли, – определённый центр, вокруг которого возникают различные представления. Из этих представлений мы выбираем одно и опять фиксируем его с помощью знака. Так удаётся шаг за шагом проникнуть во внутренний мир наших представлений и двигаться в этом мире в нужном направлении. Чувственно-наглядное (в форме знаков) позволяет нам не потонуть в потоке восприятий и представлений, непрерывно захлёстывающих наше внимание”.
Можно считать, что Фреге открыл «атомарную» структуру мышления в виде дискретных актов, которые формируют циклический процесс организации мыслительных образов из слов в предложения и тексты. Представим этот акт в виде следующей диаграммы, которая отражает процесс мышления как циклическую операцию над образами
Схема 1.1
С
огласно
этой диаграмме, реализацию коммуникационной
функции в виде текста можно считать
итерацией, т.е. последовательной
композицией, таких актов.
