9.2 Относительная частота и вероятность случайного события.

Если событие неизбежно произойдёт, его называют достоверным, если событие в данных условиях не реализуется, его называют невозможным событием. Событие, которое при данных обстоятельствах может реализоваться или не реализоваться называют случайным событием.

Мерой реализации случайного события является его вероятность, как мера объективной возможности. Существование меры объективной возможности реализации случайного события объясняется следующим образом. Будем многократно повторять испытания, при которых возможна реализация случайного события А. Пусть n – общее число таких испытаний, и пусть - число реализации события А в этих n испытаниях. Отношение = / n называется относительной частотой случайного события А. Если при многократном повторении испытания относительная частота имеет тенденцию группироваться около некоторого числа , то это число объективно является мерой реализации случайного события А и называется вероятностью этого случайного события.

В первом примере п. 9.1 при бросании монеты случайное событие – выпадение орла имеет вероятность 1/2. В этом примере относительная частота имеет тенденцию группироваться около значения 1/2. Во втором примере относительная частота - показатель трагических происшествий на дороге, меняется из года в год, зависит от города, от дисциплинированности пешеходов и водителей и так далее, и не имеет тенденции группироваться около некоторой величины. Поэтому случайное событие этого примера не имеет точного измерения в виде относительной частоты, поэтому не имеет и фиксированной вероятности.

Свойство относительных частот группироваться около некоторой числовой величины называют статистической устойчивостью.

Вывод 1. Случайные события, которые при многократно повторяющихся испытаниях не проявляют свойство статистической устойчивости, не обладают такой характеристикой как вероятность.

Замечание. Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю

Пример . Бросается кубик с шестью гранями, помеченными цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность того, что при бросании кубика реализуется одно конкретное из этих чисел, равна 1/6. Реализация любого другого числа при однократном бросании есть невозможное событие и его вероятность ноль. Реализация хотя бы одного из указанных чисел при одном бросании, например, пяти есть событие достоверное и его вероятность единица.

9.3 Классическое определение вероятности.

Нахождение вероятности посредством подсчёта относительных частот в серии испытаний дело хлопотное. Существует равнозначное или эквивалентное определение основанное на некоторых дополнительных понятиях.

Случайные события и несовместны, если реализация одного из них исключает возможность реализации другого. Например, реализация грани кубика с цифрой 1 исключает при одном испытании реализацию грани с другой цифрой.

Попарно несовместные случайные события , , …, составляют полную группу элементарных событий, если при каждом испытании реализуется какое - либо одно из них.

Случайные события , , …, называются равновозможными, если теоретические рассуждения о нахождении их относительных частот показывают, что их относительные частоты равны. Например, реализации граней кубика при его бросании можно считать равновозможными случайными событиями, реализации двух сторон монеты также равновозможные случайные события. Заметим, что если монета прогнута, то две её стороны не являются равновозможными событиями при бросании. Если центр тяжести кубика находится ближе к какой – либо грани, то реализация этой грани при бросании более вероятна, чем реализация других граней при бросании кубика.

Будем говорить, что случайное событие благоприятствует случайному событию А, если реализация влечёт реализацию события А. Например, случайному событию « при бросании кубика выпадет число равное или меньшее трёх» благоприятствуют реализации граней с номерами 1, 2 и 3.

Определение. Пусть n попарно несовместных случайных событий образует полную группу элементарных событий и пусть случайному событию А благоприятствуют случайных событий из этой полной группы, тогда вероятностью события А называется число, равное отношению

= / n

Пример 1. Какова вероятность того, что при двух бросаниях кубика в сумме выпадет число больше, чем 10?

Решение. При двух испытаниях полная группа элементарных равновозможных исходов состоит из 6х6 = 36 исходов: (1,1), (1,2), …, (1,6); (2,1), …, (2,6); …; (6,1),…, (6,6). Сумме больше десяти благоприятствуют три исхода (5,6), (6,5), (6,6). Поэтому искомая вероятность есть 3/36 = 1/12.

Пример 2. Вероятность того, что при семи бросаниях кубика выпадет сумма большая семи, равна единице, так как это событие достоверное.