- •Глава I 11
- •§1. Формирование числовых систем 11
- •§2. Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии. 27
- •Вводная глава.
- •Назначение знаковых языковых систем
- •1. Язык как инструмент интеллекта
- •2. Функциональные свойства языковых систем
- •3. Определение и примеры языковых систем
- •Рассмотрим некоторые примеры языковых систем. Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 5. Система знаков представляющих музыкальные звуки называется нотами и формирует язык музыки.
- •4. Основные языковые понятия
- •5. Предметное назначение языковых систем
- •6. Цели краткого курса математики для гуманитариев
- •7. Вопросы и задания к теме «Назначение знаковых языковых систем»
- •Построение множества рациональных чисел.
- •Вывод 1.
- •Замечание 1.
- •Аксиомы операции умножения.
- •Задача 2.
- •Вывод 2.
- •Аксиоматическое построение множества действительных чисел.
- •Аксиома непрерывности Кантора.
- •Определение 2.
- •О представлении действительных чисел.
- •Задача 3.
- •Языковые свойствах числовых систем.
- •3. Десятичная (и вообще, любая k-ичная) знаковая реализация действительных чисел изоморфна геометрической реализации действительных чисел в виде отрезков прямой.
- •Вопросы и задания к теме «числовые системы».
- •§2. Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- •2.1. О “Началах” Евклида.
- •2.1.1. Структура «Начал» Евклида
- •2.1.2 Историческое значение «Начал» Евклида
- •2.1.3 Историческое развитие дедуктивной схемы «Начал» Евклида
- •2.2 Аксиоматика д. Гильберта(1862-1943)
- •2.2.1 Группа 1. Аксиомы соединения.
- •2.2.3 Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- •Вывод 2.
- •2.2.4 Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- •Замечание 2.
- •Замечание 3.
- •Вывод 3.
- •2.2.5 Группа 5. Аксиома параллельности (евклидовой геометрии).
- •Замечание 4.
- •2.3 Два недостатка аксиоматики д. Гильберта.
- •2.4 Структурный характер аксиоматики д.Гильберта
- •2.5. Вопросы и задания к теме «Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии».
- •§3. Структура векторного пространства.
- •3.1 Модель направленных отрезков.
- •Сложение обладает свойствами:
- •Свойства операции умножения:
- •Определение.
- •3.2 Построение арифметической модели векторного пространства направленных отрезков
- •Теорема размерности.
- •Вывод 1.
- •Вывод 3.
- •Вывод 4.
- •3.3 Определение и примеры абстрактного векторного пространства.
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •Определение абстрактного векторного пространства.
- •Следствие.
- •3.4 Аксиомы скалярного произведения векторов.
- •Следствие.
- •Следствие.
- •Определение n – мерного евклидова векторного пространства.
- •3.5 Вопросы и задания к теме «Структура векторного пространства»
- •§4 Модель Вейля евклидовой геометрии.
- •4.1 Арифметическая модель трехмерного евклидова пространства.
- •Определение.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •4.2 Арифметическая модель многомерного евклидова пространства
- •Вывод 3.
- •Замечание о схеме г.Вейля.
- •4.3. Вопросы и задания к теме «Модель Вейля евклидовой геометрии»
- •§ 5. Модель а. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- •5.1 Основные понятие модели а. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- •V’. Аксиома параллельности Лобачевского.
- •Определение плоскости Лобачевского.
- •С ледствие 2.
- •2. Взаимное расположение прямых в плоскости l2.
- •3. Перпендикуляр к стороне угла.
- •5. Четвертый признак конгруэнтности треугольников.
- •Вывод 2.
- •5.3 Научная значимость открытия геометрии Лобачевского.
- •Вывод 3.
- •5.4 Вопросы и задания к теме «Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского»
- •Следствие 2. Задание отношения эквивалентности на некотором множестве равносильно разбиению этого множеств на непересекающиеся подмножества.
- •6.2 Понятие математической структуры.
- •Замечание 1.
- •6.4 Формальная и содержательная аксиоматики, аксиоматические теории и математические структуры.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Определение.
- •6.5 Изоморфизм.
- •Пример 1.
- •Определение изоморфизма.
- •6.6 Вопросы и задания к теме «Математические структуры и аксиоматические теории».
- •§7 Требования, предъявляемые к системам аксиом.
- •7.1 Непротиворечивость системы аксиом.
- •Вывод 1.
- •7.2 Независимость аксиоматической системы.
- •7.3 Независимость аксиомы параллельности.
- •Замечание 1.
- •7.4 Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.
- •Определение (дедуктивной полноты).
- •Определение (категоричности).
- •7.5 Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- •7.6 Вопросы и задания к теме «Требования, предъявляемые к системе аксиом»
- •§8 Смысловой анализ текстовых продуктов.
- •8.1 Понятие смыслового анализа текстового продукта.
- •8.2 Языковые свойства имен объектов.
- •8.4 Понятие искусственного языка.
- •8.5 Понятие и анализ парадоксов.
- •8.6 “Ахиллес и черепаха”.
- •8.7 Парадокс пустого множества.
- •8.8 Парадокс конечной достижимости в очереди.
- •8.9 Противоречивость в дедуктивных схемах
- •Пример .
- •8.10 Вопросы и задания к теме «Смысловой анализ текстовых продуктов»
- •9.2 Относительная частота и вероятность случайного события.
- •9.3 Классическое определение вероятности.
- •9.4 Вопросы и задания к теме «Понятие вероятности случайного события»
- •Моделирование случайных событий случайными величинами.
- •10.1 Понятие случайной величины.
- •10.2 Геометрические вероятности.
- •1. Игра « Мексиканский ковёр».
- •2. Задача о встрече.
- •10.3 Парадокс Бертрана.
- •10.4 Условия корректного моделирования случайного события
- •10.5 Вопросы и задания к теме «Моделирование случайных событий случайными величинами»
- •Заключение
- •Обозначения.
- •Литература
8.4 Понятие искусственного языка.
Всякий предметный или искусственный язык состоит из следующих компонентов:
1. Алфавит (конечный список исходных символов).
2. Правила построения термов (имен и именных форм).
3. Правила построения формул (высказываний и высказывательных форм).
4. Интерпретации языка.
Пункты 1-3 представляют синтаксис языка; пункт 4 представляет семантику языка. Если вернуться к трём функциям Л.Эйлера языковой знаковой системы, то мы видим, что п.3 формирует логическую функцию, п.п.1-2 формируют коммуникационную функцию, а п.4 отвечает за реализацию опорной функции.
Математические языки является искусственными языками и носят исключительно информативный характер. В этих языках используются только повествовательные предложения (высказывания). Формы мыслительной деятельности не представляющиеся повествовательными предложениями в этих языках невыразимы.
Самым простым искусственным языком, позволяющим строить импликации, является язык математической логики первого порядка, [11].
Предметные языки – геометрический язык и язык теории множеств считаются более сложными, так как содержат отношения включения и другие, не заданные в языке логики первого порядка.
Искусственные языки делятся по уровням сложности в зависимости от типов отношений, которые они описывают.
Описание свойств моделей в зависимости от уровня языка требует специальных сведений по математической логике [11], которые не входят в круг рассматриваемых нами вопросов.
8.5 Понятие и анализ парадоксов.
Проблема выражения смысла при помощи текста отражает несоответствие естественного и искусственного языков, а также несоответствие между самими искусственными языками, относящимися к моделям разного уровня сложности. Эти несоответствия мы обнаруживаем в виде различных парадоксов.
Парадоксами будем называть текстовые утверждение, логические следствие которых приводит к противоречиям.
Таким способом определённые парадоксы следует отнести к бессмысленным текстовым продуктам. Следовательно, анализ парадокса связан с исследованием изоморфизма - соответствия мыслимой и реальной структур.
Мы ограничимся нестрогим анализом текстов некоторых парадоксов, возникающих при дедуктивном построении теорий, используя лишь понятия изоморфизма мысленной и реальной структур, а также свойств совместности, независимости и категоричности систем аксиом и будем опираться на построенные примеры математических структур.
Мы выделим два следующих типа соответствий, возникающих при мысленном моделировании дедуктивных теорий.
Первый тип. Согласно выводу п. 8.1, изоморфизм мыслимой структуры на некоторую реальную структуру дает возможность “мысленно воспринимать объект” или, что тоже, выражать мысль в виде отношения каких-то элементов внешнего объекта в знаковой форме. Этот первый тип отношений мы назовём существованием реализации мыслимой теории.
Второй тип. Соответствие между языками моделей представляется структурными изоморфизмами. Этот второй тип соответствия мы назовём структурным изоморфизмом.
Рассмотрим текстовые противоречия с точки зрения нарушения одного из двух указанных типов соответствия между языками моделей на примерах известных парадоксов.