Замечание 1.

Доказательство независимости остальных аксиом геометрии можно найти, например, в [7], [8].

7.4 Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.

Теория Т всякой структуры = {T, Ð, M} состоит из множества У – утверждений или высказываний, связывающих некоторым отношением заданные или вновь построенные объекты этой структуры. Любое высказывание «у» этой теории обладает одним из следующих трех свойств. Высказывание «у» является доказуемым в теории Т_∑, то есть, истинным, обозначим множество таких высказываний И. Высказывание «у» опровержимо в системе Т_∑, то есть, ложное, обозначим множество таких высказываний Л. Наконец, высказывание «у» является ни доказуемым, ни опровержимым, то есть неопределенным, множество таких неопределённых высказываний обозначим Н. Таким образом, множество всех высказываний У заявляющих о наличии некоторого отношения объектов структуры ∑_Т, есть сумма непересекающихся классов истинных, ложных и неопределённых утверждений:

У=И U Л U Н (7.1)

Определение (дедуктивной полноты).

Непротиворечивая система аксиом Т называется дедуктивно-полной, если в определяемой ею теории всякое предложение либо доказуемо, либо опровержимо.

Другими словами, в теории всех высказываний такой системы Т недоказуемые и неопровержимые (неопределенные) утверждения отсутствуют и разложение (7.1) принимает вид:

У=И U Л (7.2)

Например, система аксиом Т абсолютной геометрии, состоящая из аксиом Д. Гильберта с исключенной аксиомой П - параллельности прямых, дедуктивно неполна. Действительно, аксиома параллельности П не доказуема и не опровержима в системе Т, так как П не зависит от Т, поэтому утверждения основанные на этой аксиоме будут так же ни доказуемыми, ни опровержимыми, то есть неопределёнными.

Вся система аксиом Гильберта обладает свойством дедуктивной полноты, см., например, [7], [8].

В случае дедуктивно неполной системы аксиом можно найти две неизоморфные модели. В качестве примера можно взять систему аксиом абсолютной планиметрии и ее две реализации в модели R² и в модели L₂. Мы уже показали, см. пример п.6.5. §6, что модели R² и L₂ неизоморфны.

Критерием дедуктивной полноты является следующее свойство категоричности системы аксиом.

Определение (категоричности).

Непротиворечивая, система аксиом называется категоричной, если любые ее модели (реализации) изоморфны.

Рассмотренный выше пример системы аксиом абсолютной геометрии представляет пример некатегоричной системы аксиом, так как существуют две неизоморфные реализации L₂ и R² этой системы.

Приведем без доказательства следующий критерий дедуктивной полноты.

Если система аксиом категорична, то она является дедуктивно полной.

Обратное утверждение не справедливо. Рассмотрим следующий пример аксиоматической теории, определяемой совместной (непротиворечивой) аксиоматической системой состоящей из следующих семи аксиом.

Пример 1( дедуктивно полной, но не категоричной системы аксиом).

1. Аксиома рефлексивности: х(хх).

2. Аксиомы антисимметричности: х,у(ху  ух  х=у).

3. Аксиома транзитивности: х,у,z(ху  уz  ху).

4. Аксиома линейности: х,у(ху  ух).

5. Аксиома плотности: х,уz(ху  хzу  yzx)

6. Аксиома отсутствия наименьшего элемента: хz (zy).

7. Аксиома отсутствия наибольшего элемента: хz (zy).

Эта система аксиом дедуктивно полна, см. например, [11], но не категорична, так как имеет две неизоморфные модели: Q - множество рациональных чисел и R - множество действительных чисел.