Определение.

Арифметической, или координатной, моделью трёхмерного евклидова пространства ³ называется множество упорядоченных троек чисел (x,y,z) определяемых соответствием (4.2) вместе с формулами длины отрезка (4.З) и углов между направленными отрезками (4.4), выраженными через скалярное произведение. Арифметическую модель трехмерного евклидова пространства будем обозначать R³.

Вывод 1.

Для построения координатной модели трёхмерного евклидова пространства требуется задать:

• геометрическую модель направленных отрезков трехмерного векторного пространства ³ и изоморфную ей модель координатного векторного пространства Е³ ;

• структуру скалярного произведения, посредством которого вычисляются длины и углы;

• Структуру операции откладывания вектора состоящую из трёх аксиом Вейля.

Основные объекты геометрии - точки, прямые и плоскости в R³ определяются на «языке» векторов и координат и позволяют построить множество геометрических фигур. Рассмотрим пример такого построения.

Построение плоскости. Пусть плоскость П определяется точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и вектором нормали (A,B,C). Это эквивалентно тому, что если М(x,y,z) - произвольная точка плоскости П, то , что эквивалентно условию ( )=0, или в координатной форме П:

(x-x₀)A+(y-y₀)B+(z-z₀)C=0

Таким образом, искомая плоскость П в R³ - это множество троек чисел (x, y, z), удовлетворяющих этому алгебраическому уравнению. Что даёт это уравнение? Оно позволяет для любой точки заданной своими координатами выяснить, где лежит эта точка: на плоскости, под плоскостью или над плоскостью.

Аналогичным образом, в виде алгебраических соотношений представляются все геометрические объекты в R³ и их метрические характеристики: длина, углы, площади и т.д.

Вывод 2.

Решение геометрических задач в модели R³ сводится к решению алгебраических задач: уравнений, систем уравнений, неравенств.

4.2 Арифметическая модель многомерного евклидова пространства

Мы отмечали в п.2.3, §2, что аксиоматика Д. Гилберта не может быть обобщена для построения модели геометрии высоких размерностей в мыслимом многомерном евклидовом пространстве. Обратимся к схеме Г.Вейля, согласно которой строилось арифметическое пространство R³. На самом деле эта схема не зависит от размерности вспомогательного векторного пространства Еⁿ. При n=2 и n=3 она просто одна и та же и отличается набором координат. В случае «мыслимой» многомерной геометрии операция откладывания вектора (1) является формальным определением множества точек арифметического n-мерного евклидова пространства Rⁿ, а в остальном схема построения Rⁿ при n>3 такова же, как и при n3 и состоит в реализации следующих трёх групп аксиом.

1.Группа аксиом векторного пространства. Эта группа включает восемь аксиом векторного пространства, сформулированных в п. 3.1 §3 и дополнительную девятую аксиому размерности, сформулированную в п. 3.2 §3. Эти аксиомы определяют арифметическую модель Еⁿ n-мерного векторного пространства, см. п. 3.3 §3.

2 .Аксиомы скалярного произведения.

Сюда входят три аксиомы 1) - 3) в формуле ( 5), приведенные в виде свойств в п.3.4 §3.

3. Аксиомы откладывания векторов.

Эта группа аксиом состоит из трех свойств операции откладывания векторов, определенной в начале этого параграфа.